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1、第26卷第6期大学数学Vol.26,.62010年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2010二阶变系数线性微分方程的几个可积类型孙晓莉,任蓓,陶长虹,杨志林(合肥工业大学数学学院,合肥230009)[摘要]利用变量代换把二阶变系数线性微分方程降阶为一阶线性微分方程,讨论了二阶变系数线性微分方程可积4个充分条件及通解公式.[关键词]微分方程;变系数;通解[中图分类号]O175.1[文献标识码]C[文章编号]16721454(2010)060191051引言二阶变系数线性微分方程在实际问题的应用十分广泛,到目前为止二阶变系数线
2、性微分方程还没有一般的求解方法.在一般高等数学教材中,对变系数高阶线性微分方程的解法主要有常数变易法、欧拉方程、幂级数解法等.在[1]中,作者通过举例给出几种二阶变系数齐次方程的通解.本文研究了二阶变系数线性微分方程降阶为一阶线性微分方程的条件,并建立了相应的通解公式,结论具有一定的应用性.作为应用,本文对[2]中的一些例题、习题给出新的解法,较之于[2]中所使用的常数变易法,此解法更为简便.本文所讨论的二阶变系数非齐次线性微分方程的一般形式为y+p(x)y!+q(x)y=f(x).(1)令v=y!+A(x)y,(2)其中A(x)为待定函数.若将方程(1)化为一阶线性微分方程v!
3、+B(x)v=f(x),(3)即y+(A(x)+B(x))y!+(A!(x)+A(x)B(x))y=f(x),(4)则A(x)+B(x)=p(x),(5)A!(x)+A(x)B(x)=q(x).(6)消去B(x)得A!(x)+A(x)(p(x)-A(x))=q(x),(7)即2A!(x)=A(x)-p(x)A(x)+q(x).(8)现在关键问题在于(8)求解,如果我们可以从方程(8)中解出A(x),进而由(5)得B(x),代入(3),一阶线性微分方程解出[收稿日期]20080711[基金项目]安徽省教研项目(2008jyxm233);合肥工业大学校级项目(XJ200901
4、0)192大学数学第26卷-∀(p(x)-A(x))dx∀(p(x)-A(x))dxv=e∀f(x)edx+C1.代入方程(2),得方程(1)通解-∀A(x)dx∀A(x)dxy=e∀vedx+C2,其中C1,C2为任意常数.而方程(8)为著名的Ricati方程,Liouille在1841年证明了在一般情况下Ricati方程不能通过初等积分法求解,这给方程(8)的求解带来困难,但这并不是说所有Ricati方程都不可用初等积分求解,在一定条件下也可求解方程(8).例如,如果在(8)中令1u=A(x)-p(x),(9)2则方程(8)可变为2u!=u+
5、R(x),(10)其中121R(x)=q(x)-p(x)-p!(x).(11)421如果(10)中R(x)#常数,通过分离变量法可解出u,则A(x)=u+p(x),或通过观察法及其它方法解2出(8)中A(x).2主要结果定理1对于方程(1),若系数p(x),q(x)满足1∃p(x)+q(x)=0,则方程(1)的通解-(p(x)∃2)dx(p(x)∃1)dx∃x∀∀y=e∀e∀f(x)edx+C1dx+C2.(12)证若1+p(x)+q(x)=0,则A(x)=-1是方程(8)一特解.令v=y!-y,则v!+(p(x)+1)v=f(x),-∀(p(x)+1)dx∀(p(x)+1
6、)dxv=e∀f(x)edx+C1.于是方程(1)通解为x-∀(p(x)+2)dx∀(p(x)+1)dxy=e∀e∀f(x)edx+C1dx+C2.类似,若1-p(x)+q(x)=0,则A(x)=1.定理2对于方程(1),若系数p(x),q(x)满足p!(x)=q(x),则方程(1)的通解为-∀p(x)dx∀p(x)dxy=e∀∀f(x)dx+C1edx+C2.(13)证由条件p!(x)=q(x),则A(x)=p(x)是方程(8)一特解.令v=y!+p(x)y,则v!=f(x),得v=∀f(x)dx+C1.于是方程(1)通解-∀p(x)dx∀p(x)dxy=e∀∀f(x)dx
7、+C1edx+C2.定理3对于方程(1),若系数p(x),q(x)满足等式p!(x)-p(x)=q(x)+1,则方程(1)通解为-∀(p(x)+1)dx-x∀(p(x)+2)dxy=e∀∀f(x)edx+C1edx+C2.(14)证由条件p!(x)-p(x)=q(x)+1,则方程(8)一特解A(x)=1+p(x).令v=y!+(1+p(x))y,则有第6期孙晓莉,等:二阶变系数线性微分方程的几个可积类型193v!-v=f(x),x-xv=e∀f(x)edx
