二次多项式型非线性系统的最优控制

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1、万方数据第z9卷第3期计算校术与自动化V01．29，No．32010年9月ComputingTechnologyandAutomationSep．2010文章编号：1003--6199(2010)03--0009--05二次多项式型非线性系统的最优控制丁晓晖，张侃健(东南大学自动化学院，江苏南京210096)摘要：讨论含有二次多项式项的一类非线性系统的最优控制问题，通过将曩优化性能指标展开为状态分量的高阶泰勒级数形式，并运用比对系数的方法将舍有高阶张量的微分方程转化为常见矩阵微分方程组的形式进行求解，得到优化问题的近似解。最后通过仿真算例与灵敏度算法的结果比对，指出高阶泰勒级数

2、展开算法在速度上优于灵敏度算法。关键词：高阶泰勒级数展开法；张量l微分方程中图分类号：0231文献标识码：ATheOptimalControlProblemswithNonlinearPartofQuadraticPolynomialTypeDINGXiao-hui。ZHANGKan-jJan(SchoolofAutomation。SoutheastUniversity，Nanjing210096，China)Abstract：Inordertosolvetheoptimalcontrolproblemsofsuchsystems，thisessaychangestheopti

3、malperformanceindexintotaylor’Sseries．Thenthearticlechangesdifferentialequationswithhighordertensorsintodifferentialequationsonlywithmatrixandsolvestheproblem．Finally，theessaycomparestheresultsofTaylor’SSeriesMethodandtheresultsofSensitivityAnalyzingMethod，anddemonstratethatTaylor’sSeriesMet

4、hodisfasterthanSensitivityAnalyzingMethod．Keywords：taylor’sseriesmethod；tensors；differentialequationsl引言非线性系统最优控制问题的求解，将不可避免的导致非线性两点边值或Hamihon—Jacobi—Bellman(HJB)方程问题的处理。鉴于非线性条件下的两点边值问题通常情况下无法求得解析解，众多的近似求解方法被引入。非线性最优化问题的近似解算法中，逐次逼近法、有限元算法和幂级数展开法是三种比较具有代表性的方法。分段线性化方法就是逐次逼近法的一个一种实例。分段线性化算法将原有的

5、非线性系统无限分割为一系列子系统，并将各个子系统近似当作线性系统进行求解‘卜引。构造一系列逐浙收敛于原系统的近似模型序列是另一种逐次逼近算法的实例。通过求解一个逐渐收敛于原系统的微分方程序列可以让近似系统的解逐渐地逼近原问题的解【5’7]。总的看来，在分割非线性因素带来的不稳定因素方面，逐次逼近算法是有效的。在分割后的子系统处理上，逐次逼近算法并没有有效地处理子系统内部的非线性因素。在文献[2]和[33中，作者采取了线性矩阵不等式的手段来处理问题。有限元算法也是一种比较公认的算法。有限元算法通过刚度矩阵的构造，将原系统的微分方程转化为一次方程组的形式求解。可以证明，有限元算法具

6、有很好的收敛性[8叫]。如果选择合适的有限元子空间，就能最大限度地提高精度。灵敏度算法是幂级数展开的一种实例。通过引入灵敏度参数，可以将系统在原点附近展开成级数，求解相应的控制量。灵敏度算法可以保证最优收稿日期：2010—09—07作者简介：丁晓晖(1983一)，男，江苏南京人，硕士研究生，研究方向：控制理论与控制工程(E--mail：thematrixl983@hotmail。corn)，张侃健(1972一)，男，江苏张家港人，教授，博士，研究方向；控制理论与控制工程．万方数据计算技术与自动化Z010年9月化性能指标沿着逐渐减小的方向变化，但不保证最优化性能指标收敛到真值。本

7、文中的高阶泰勒级数展开算法直接将最优化性能指标展开成多元函数的泰勒级数形式，并采用了适当的方式把含有高阶张量的微分方程转化为矩阵微分方程组求解。和灵敏度算法相比，高阶泰勒级数展开算法可以更快地求出更接近于真值的解。2问题的描述考虑一个含有二次多项式形式的非线性系统：z(￡)=Ax(￡)+Bu(￡)+，(z)(1)其中，A为系统的状态矩阵，B为系统的控制矩阵，A、B均为时不变的的常数矩阵。z(￡)为系统的状态量，为，l维。，(z)非线性项，可以表示为一般形式：厂(z)一[^厶⋯⋯I。^]1’(