论复变函数教材中交比的定义

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1、万方数据第14卷第1期2011年1月高等数学研究STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICSV01．14．No．1Jan．，20ll论复变函数教材中交比的定义龙波涌，王良龙(安徽大学数学科学学院。安徽各肥230039)摘要列举多种复变函数教材关于交比的不同定义，指出其相互之间的数量关系．论述交比定义的所有可能性，其本质是所定义的交比必须是射影几何的基本不变量．关键词交比；定义；复变函数；射影几何中图分类号0174．5文献标识码A文章编号1008-1399(2011)O卜OOl5一03在大学数学教学中，复变

2、函数是一门基础而重要的课程．在国内外有很多复变函数的优秀教材，例如文[1—6]．但是在分式线性变换这一章节里，它们给出的交比的定义却不尽相同．由于交比的定义形式相对比较繁琐，而且几何意义不明显，因此学生很难真正理解交比的定义并且准确记忆某一具体定义下交比的表达式．本文试图探讨各种不同定义下交比的内在关系，并指出不同定义下交比的本质．1交比的不同定义在不同的复变函数的教材中，对交比的定义各不相同，可以说是五花八门，现列举部分如下：定义1[卜2]设zl，z2，z。，缸是任意给定的四个点，称比值兰!二兰!：兰!二三!Zl—

3、ZtZ2一Z4为这四个点的交比，记为(：。，z。，z。，瓤)．当这些点中有无穷远点时，规定(oo，z2，z3，飘)=塑；‘2‘3(21，o。，z3，翻)=盟；‘l‘4(孙锄。。，引2弑；(孙zz，钔∞)-鬟．定义2[33设zl，z2，z3，铂是任意给定的四个收稿日期t2009一09—2Zl修改日期t2010一11—04．基金项目，安徽省教育厅基金项且(2006jql025)l安徽省质量T程精品课程项目(‘复变函数》)．作者简介；龙波涌(1974一)．男．湖南会同人。硕士。讲师。从事函数论方向的教学与研究．Email—

4、lbymxy@163．com．王良龙(1966一)，男，安徽无为人，博士．教授，主要从事微分方程方向的教学与研究．Emaii：wanglJ@ahu．edu．cIL点，定义这四个点的交比为：(zl，：2，z3，z4)一兰L二垫：兰兰_二垫．Z1一Z3Z2一Z3定义3[4]设z1，z2，23，‰是任意给定的四个点，定义这四个点的交比为：(zl，z2，z3，铂)一塑：盟．Z‘一Z3Z2一Z3定义4[53设z。，z2，砀，‰是任意给定的四个点，定义这四个点的交比为：(2l，z2，z3，z4)=兰三二丝：三芏二丝．Z1一Z4Z

5、3一Zl定义5[63设zl，z2，：3，z4是任意给定的四个点，定义这四个点的交比为：(zl，22，z3，瓴)=塑：盟．Z4一Z2Z4一Z3其他复变函数教材对交比可能还有不同的定义，在此不再一一列举．面对这么多不同的交比的定义，一些显然的问题立即出现在我们的面前：为什么可以有这些不同的交比的定义?它们之间相互有什么关系?各种交比的本质是什么?类似于以上定义的交比，还可能有哪些交比的定义方式72交比的不同定义的内在相互关系通过观察发现，以上列出的不同定义下的交比表达式都具有一个共同的特点，即都具有兰!二三12兰!=兰!

6、zj—zlzj—zt的表达形式，其中lf，．『，矗，Z∈{1，2，3，4)，i≠．『≠足≠Z．显然，具有上述形式的交比表达式共有24种．通过繁琐但平凡的计算，可以发现其中有些交比的值是相同的．．对于扩充复平面中给定的四点2。，z。，‰，z．，若万方数据16高等数学研究2011年1月按定义1中定义的交比，令(zl，z2，z3，z4)=．=【，则可以列出所有24种交比表达式的值如下：(zl，z2，z3，zt)=(z2，zl，2‘，z3)=(z3，：4，zl，z2)=(zl，z3，z2，z1)=A；(z2，2l，z3，24

7、)=(zl，z2，zt，z3)=(z3，z4，z2，z1)=(zI，23，zl，z2)=÷；(名l，z3，z2，名4)=(z3，2l，z4，z2)=(芝2，24，z1，z3)=(24，z2，z3，z1)=1一A；(z3，zI，z2，z4)=(zl，：3，z4，z2)=(％钔孙z1)一(孙铴孙z3)2南；(z2，z3，zl，z4)=(z3，z2，z4，z1)=(z。，缸，z2，z。)一(铂，2。，z。，z：)。L}；(z3，z2，z1，z4)=(z2，z3，z4，z1)=＆1’缸簿3穆2)=＆t心1’施簿3)2∈与·虽

8、然存在24种交比表达式，但实质上的交比值只可能有六种．以上计算结果正好反映了不同定义下交比的值其相互之间的数量关系．一般而言，上述六种结果是互异的．但是，如果令其中任意两个相等，则我们可得到15个方程，再从这15方程中即可解出A的值．经过平凡的计算和整理，我们有如下结论．结论l，如果A=O；l；o。，那么，各种交比表达式中只可能出现三种不同的结