ch2-z变换与离散时间傅里叶变换-4

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1、（第三版）数字信号处理教程数字信号处理教程程佩青清华大学出版社浙江理工大学2010目录目录绪论第一章离散时间信号与系统第二章z变换第三章离散傅里叶变换第四章快速傅里叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章IIR数字滤波器的设计方法第七章FIR数字滤波器的设计方法浙江理工大学2010第二章第二章z变换z变换2.1引言2.2z变换的定义与收敛域2.3z变换的反变换2.4z变换的的基本性质和定理2.5序列的z变换与连续信号的拉氏变换、傅氏变换的关系2.6离散时间傅立叶变换2.7序列傅立叶变换的主要性质2.8周期性序列的傅里叶变换2.9傅里叶变换的一些对称

2、性质2.10离散系统的系统函数、系统的频率响应浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应对于线性时不变系统：y(n)=x(n)∗h(n)两边进行z变换Y(z)=X(z)H(z)Y(z)H(z)=——系统函数，是h(n)的z变换X(z)在单位圆上(z=ejω)的系统函数就是系统的频率响应H(ejω)。∞jω−jωnH(e)=F[h(n)]=∑h(n)en=−∞浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应一、因果系统单位脉冲响应h

3、(n)为因果序列的系统称为因果系统。因果序列为右边序列，其收敛域在圆外，且包括∞即R<

4、z

5、≤∞x−浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应二、稳定系统离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。∞∑h()n<∞n=−∞∞−n而Z变换的收敛域由满足∑

6、h(n)z

7、<∞的那些z值确n=−∞定，因此稳定系统的系统函数H(z)必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆

8、z

9、=1，H(ejω)存在。浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的

10、频率响应三、因果稳定系统因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H(z)必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛，即1≤

11、z

12、≤∞也就是说H(z)的全部极点应落在单位圆之内。浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应例1已知系统函数为3−1−z211H(z)==−2<

13、z

14、≤∞1−1⎛1−1⎞−1−11−2z⎜1−z⎟1(−2z)1−z⎝2⎠2求系统的单位脉冲响应及系统性质。解：系统函数H(z)有两个极点z=0.5,z=2。12从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。

15、但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。n⎛1⎞nh(n)=⎜⎟u(n)−2u(n)⎝2⎠由于2nu(n)项是发散的，可见系统确实是不稳定的。浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应例2已知系统函数为3−1−z111H(z)=2=−<

16、z

17、<21−1⎛1−1⎞−1−11−2z2⎜1−z⎟1(−2z)1−z⎝2⎠2求系统的单位脉冲响应及系统性质。解：收敛域包括单位圆，因此系统是稳定的，但是非因果的。n⎛1⎞nh(n)=⎜⎟u(n)+2u(−n−)1⎝2⎠浙江理工大学2010

18、2.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应四、系统函数和差分方程的关系线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为NM∑ay()n−k=∑bx()n−rkrk=0r=0上式两边取z变换得NM()∑−k()∑−rYzaz=Xzbzkrk=0r=0M−r()∑brzYz所以H()z==r=0离散时间系统的系统函数。()NXz−k∑akzk=0浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应M−r()∑brzYz()r=0Hz==()NXz−k∑

19、akzk=0系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。上式是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得M−1∏1(−ckz)⎛b⎞⎜0⎟k=1H(z)=⎜⎟N⎝a0⎠∏1(−dz−1)kk=1式中，z=c是H(z)的零点，z=d是H(z)的极点，它们都由差kk分方程的系数a和b决定。因此，除了比例常数b/a以外，系统kk00函数完全由它的全部零点、极点来确定。　浙江理工大学20102.102.10离散系统的系统函数，系统的频率响应离散系统的系统函数，系统的频率响应¾差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。¾同

20、一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。¾对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在Z平面以