兰大2004高等代数

《兰大2004高等代数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、兰州大学2004年招收攻读硕士学位研究生考试试题注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效。招生专业：数学系各专业初试科目名称：高等代数一、（15 分）判断题（判断下列陈述是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内划“×”）。(k)(k+1)（1）设f(x )是一多项式，若a是f(x)(k 为正整数)的根，但不是f(x)的根，则a是f(x )的k 重根。（2）方阵A 可逆的充分必要条件是存在常数项不为零的多项式f(x )，使得f(A)=0。（3）在n维欧氏空间中，一组标准正交基的度量矩阵是单位矩阵。（4

2、）线性空间V 的任意两个子空间的交与并仍是V 的子空间。（5）正交矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。二、（20 分）填空题（1）设A是 3 级矩阵，b,b,b是非其次线性方程组AX=b的三个线性无关解向123 量。则AX=b的通解为。22（2 ）若A,B均为n 级矩阵，B 可逆，且满足A+AB+B=0，则-1 (A+B)=。（3）数据F 上的n维线性空间V 上的线性变换s关于V 的基e,e,L,e的矩阵为12 n对角矩阵，则向量e,e,L,e是线性变换s的。12 n（4）设a,a,L,a是m´n矩阵A的列向量。则线性

3、方程组Ax=b有解的充分必12 n要条件是向量b。（5）两个n 级正定矩阵A 与B 的乘积AB 是正定矩形的充分必要条件是。三、（25 分）设f(x )和g(x )是数域F 上的两个不全为零的多项式。令第1 页共3 页商丘师院数学系整理I={u(x)f(x)+v(x)g(x)

4、u(x),v(x)ÎF[x]}.证明：（1）I关于多项式的加法和减法封闭，并且对于任意的h(x)ÎI和任意的k(x)ÎF[x]，有h(x)k(x)ÎI；（2）I中存在次数最小的首项系数为 1的多项式d(x )，并且d(x)=(f(x),g(x))。四

5、、（15 分）计算下列行列式的值xaaLa530L00 12 n axaLa253L00 12 n （1）D=aaaLa;（2）D=025L00 .123 n n LLLLLLLLLLLaaaLx000L25123 五、（20 分）证明：矩阵A的秩等于r的充分必要条件是A有一个r级子式不为零，而所有可能的r+1级子式全为零。22六、（20 分）设A是n级正定矩阵，B 是n级半正定矩阵，并且满足A=B。证明：B 是正定矩阵，并且A与B 相似。七、（20 分）设s是数域F 上n维线性空间V 的线性变换。如果存在向量h，使得n-

6、1 nsh¹0，但sh=0，证明：n-1 （1）h,sh,L,sh线性无关；（2）s在某一组基下的矩阵为æ00L00 öç÷10L00 ç÷ç01L00 ÷。ç÷çLLLLL÷ç÷è00L10ø八、（20 分）设s是数域F 上n维线性空间V 的线性变换，V,V是V 的两个子空间，12 并且V=VÅV。证明：s是可逆线性变换的充分必要条件是V=s(V)Ås(V)。1212 第2 页共3 页商丘师院数学系整理第3 页共3 页商丘师院数学系整理