考研高等代数2004.doc

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1、2004年郑州大学研究生考试数学试题1.填空与选择（1）是n维向量。设线性无关，可由线性表示，而不能由线性表示，则对于任意常数，必有（）A．线性无关B.线性相关C.线性无关D.线性相关（2）A为3阶矩阵，A的秩r(A)=2,为非奇次线性方程组AX=B(B0)的解向量，已知，则AX=B的通解是（）（3）A,B为3阶矩阵，满足,若B=,则（）=()(4)，则=（）（5）,A的最小多项式为（），B的最小多项式为（）（6）,其中是的伴随矩阵，则必有（）（A）a=b或a+2b=0(B)a=b或a+2b0(C)ab或a+2b=0(D)ab或a+2b0(7)V为数域P上向量空间V=P,,V的子空间V,

2、则时，dim(V)=1.(8)实二次型，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.则以下六题任选且必选6题，每小题15分2,P为数域，为向量空间V=P的一组基，求2，B是n阶实对称矩阵，已知A与B相似，证明B也是正定矩阵。4，为某实系数奇次线性方程组AX=0的一个基础解系，，…，，其中为非零实常数，证明也是AX=0的解。又问满足什么关系时，也是AX=0的一个基础解系。5，（1）A是n阶矩阵，秩r(A)=r

3、V)=n.6，A是实数域R上3维向量空间V的一个线性变换，对V的一组基,有.求A的全部特征值；又设B=A-3A-9A,证明B是数乘线性变换，并求V的一个非平凡B-不变子空间。7，证明：对数域P上任意n阶矩阵A，总存在数t,使得可逆。又,求出所有使得可逆的t的值。8，A为n阶矩阵，若存在正整数m，使得，则称A是幂零矩阵。证明：复幂零矩阵的特征值都为零；又若A为4阶复幂零矩阵，A的秩r(A)=3,求出A的诺尔当标准形，并证明秩为3的4阶复幂零矩阵都相似。9，若AB=E,E为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的右逆。已知A为nm矩阵，n>m,A的秩r(A)=n.证明A有右逆；举一个秩为2的23矩

4、阵A的例子，说明A的右逆不是唯一的。