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《一类非线性椭圆型微分方程解的存在唯一性研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第卷第期应用数学学报!∀#∃%∀∃∃&∋∋(年)月∗+,∗−∗,./−∗,0+∗/∗1120+∗,∗/30%0+∗341,&∋∋(一类非线性椭圆型微分方程解的存在唯一性研究‘王丽平刘文忠南京航空航,65天大学理学院南京&∋7589:;#<=#>9:?≅。”山∀∃。7Α摘要本文考虑一类非线性椭圆型偏徽分方程解的存在唯一性间题,通过研究相关线性边值间题的弱特征值性态,根据全局反,,,函数定理我们得到这如卜线性椭圆型方程的可解条件并给出解的存在唯一性证明其主要结果推广了有关该间题的已有结论∃关性词弱解Β弱特征值Β凡4ΧΔΕ≅4亡定理Β+:Φ:?≅∀ΦΗ条件触4∀ΓΙ5&∋∋
2、∋7主肺分类ϑ&−中圈分类∋Κ·(引言,<本文考虑2:Δ4ΦΛ#Μ中研究的非线性椭圆型边值间题如下所示2。ΟΔ,。ΟΡ≅Ο,Ο〔,57ΠΘ5577578,,57Ν。5Ο7ΡΣ5Ο7劣〔:8,ΘΟ,?Ο几一,其中2是强椭圆型自伴算子57是万上的%函数满足+:Φ:?≅∀Γ∀ΦΗ条∃,件若存在整数%对所有5Ο?7任万ΟΙ满足,,:二、Ο‘、。,Π57擎Τ肠:#丛:<丛⋯兰。%三Υ%Π#丛⋯是下述问题的弱特征其中值,2ς5Ο7Π人。5Ο7Ρ∋Ο〔8&,57Ν。5Ο7Ρ∋Ο〔:8且其有中Π∋。,、」Ε,“、吕,:占一Π∀Ω∋,···占5Χ7‘Ψ豁5一卜5一7Μ。豁Ξ卜ΨΞ三Ν一
3、Ξ本文&∋(年月日收到∃&∋(年Κ月&∋∃日收到修改稿,<期王丽平刘文忠一类非线性椭圆型微分方程解的存在唯一性研究∃口,则对任意8上的连续函数抓Ο7边值间题5#7存在连续延拓解本文采用的方法与分析技∃巧与ΛΔΜ类似借助线性边值间题弱特征值性态的已有结果,我们分析非线性Β,边值间题5#7对应的齐次方程解的情况基于全局反函数定理我,,,们导出非线性齐次方程解的存在唯一性定理进而得到本文主要结果推广了Ψ&中的相关结论∃&预备知识”,,<设8ΖΙ是有界区域本文总记2为二阶自伴的强椭圆型微分算子其主部为六、::‘一么““5Ο7去含蔽而:‘,,,,,。,,<系数函数斌劝Ρ勺5Ο7‘夕Ρ
4、&⋯是定义在8上的实可测有界函数且满足。二Ζ,艺艺。57‘。<艺玲[劣任857葱Ρ#ΩΡ公Ρ∃Β,,,,任Ι”,。∴∋其中若6⋯氛Ξ是为常数Ρ,,。记.∋护5万7其内积5∃∃7定义为·,。一,,5了。7‘,““,〔.∋儿,Β,设抓Ο7定义在区域8上的实可测函数并存在正常数∋]占三占&使得·∋;‘&,二〔8]占三>57三占[5⊥7,∃,··,,,∀,ΡΟΟ<<,。,记5_。7几>57_57。57Γ由条件5⊥7易知57是定义在.∋上的内积并具··∃,。有与内积57相同的拓扑结构,设叨是砂上连续可微且在区域8上具有紧支集并在:8上为零值的函数形成,<的内积空间其上的实内积定义为
5、,一‘‘一,卜二5蛊75爵7Μ“谓儿客一··⎯5,7,<是定义在创上的二次对称泛函形式为,·‘,一Γ·一、5会757讲儿客睿舞一、,由:衬5Ο7的有界性强椭圆性条件57以及1∀_αΖ:Φ4不等式0’Μ可知存在正常数,βΒ。〔凡和凡使得对任意的叨满足,∃。,。。。,。,。,。。。。,。β57三⎯57β&57三⎯57三β5757·∃,<#记.Θ是讲在内积5∃7下的完备化的实.;χ4Φ?空间从而3∀χ∀#4!空间.1可·,,⎯,视为.∋的子空间二次泛函5∃7可延拓至衅并定义一个内积并由57知该内积(&(应用数学学报卷··∃,··,#,空间与57具有相同的拓扑结构下面的两
6、个定义将算子2与二次泛函⎯57联系起来∃,定义对任意给定的_Ζ若,〔..δ护满足⎯,!Ρ,。,!夕,5夕75夕_7。衅则称为下述边值间题的一个弱解一‘,7了57Ο〔8Β丁吵二∃5672ΟΤ,Ο〔:8ς气7Ρ,间题567两端分别与4任.Θ进行积分便导出上述定义由此可定义.Θ上的线性∃,2Ρ,。2<泛函,5∋754ΩΞ由条件57易知_是连续的故由爪4Χ表示定理推出存在唯一。任的衅满足∃⎯,。Ρ2_:Ρ:,。,[δ5∀7575_7〔.犷,,,,,,,一般地对满足条件5⊥7的实函数抓Ο7线性泛函娜,5∋7Ρ5∋Ω7。在.上连续Θ从而存在唯一的耳了任衅使得,∃,,,>,⎯5口,1_7Ρ2
7、1_5:7Ρ5:_7。!∀。5Κ7川事实,Κ<∃<上57确定了映射几.∋一川由57和爪4Χ表示定理易知几是线性有界·∃Ζ,#;Ζ≅#’Μ的而川.δ则由Ι4选择原则可知几是.∋上的完备连续算子&,定义设函数>5Ο7满足条件5⊥7若存在常数人使边值问题,,2。5二7Π枷5<7。5Ο7Ρ∋Ο任8(,57Ν。二Ρ∋Ο〔:857,∃,久入在川上存在非零弱解称是对应于可Ο7的弱特征值并记为伽7引Κ,理设映射几以57形式定义则有·,·,,。>Β5;7在内积]7意义下写是.∋上的对称正定算子5
