%82率空间上的切比雪夫不等式与大数定理new

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1、万方数据第229003麓4驴JOURN东AL华O大F学D剃ON叵(GH自U然A科I学IN版】IVERSITYv01A。pr?2’0些03‘2年月·非交换概率空间上的切比雪夫不等式与大数定理’李绍宽，王勤(东华大学理学院，上海。200051)摘要研究了非交换概率空间上自件随机变量的期望、方差、独立性、相关性等性质，证明了关于自伴随机变量的切比雪夫不等式与戈敷定理。关键词：非交挺概率空间，随机变量，谱理论．切比雪夫不等式．太数定理中图法分类号：0177，1设A为复数域上的有单位元1的代数，≠为A上的一个线性泛函，≠(1)=1，则(A，≠)称为一个非交换概率空间⋯。

2、非交换概率论是近年来由D．v．Voiculescu等学者建立的一个新的非交换数学分支，它在群的自由积、随机矩阵、算子代数、自由群上的调和分析等研究方向具有重要的应用。本文在Hilbert空间上引入非交换概率空间框架，利用谱理论研究了非交换概率空间上自伴随机变量的期望、方差、独立性、相关性等性质，证明了关于自伴随机变量的切比雪夫不等式与大数定理，给出了两个随机变量线性相关的充分必要条件。设曰为复数域上的Hilbert空间，{EH，J

3、{ff=1，则我们称(H，{)为一个非交换概率空间，称月上的正交投影算子为随机事件，称日上的有界自伴算于为随机变量。记P(日)为随

4、机事件集合，B(Ⅳ)。为随机变量集合，并记，为日上的单位算子。对任意的随机变量A∈B(Ⅳ)。，定义数学期望为e(a)=(膳，{)，方差为D(A)=占(似一E(A)，)2)，标准差为a(A)=／D(A)。其中(·，·)表示HilMrt空间日的内积。容易验证O(A)=E(A2)一E(A)20如果(IC--P(日)为随机事件，则它的概率为P(口)=E(Q)=(嘴，；)。设A∈8(日)。为随机变量，则存在实数直线R上的按强算子拓扑右连续的谱族(B)。∈R使得A=r‘olAd毋。于是，任意一个Borel子集nc詹确定了一r一∞个随机事件{AEnj=E(n)。其中曰(n)

5、为A在n上的谱投影[“。特别地，如果实数o0，则事件{lA一产，l≥￡}=E((一∞，产一e]U[卢+E，+00))。关于随机变量A，我们有如下切比雪夫不等式【3】的推广：定理l(切比雪夫不等式)设A∈B(日)。为随机变量，则对任意E>0有收藕日期：2002—01—04*本项研究得到上悔市科委自然科学基金的资助。硬目缩号：01ZAl4003p⋯一e(A)I忱}≤半证明设A的谱表示为A：r。Ad蜀。则D(A)=E((^一E(A)，)2)=((A—E(A)，)2{，言)=I

6、(A一占(^))2d(毋{，{>从而有P{IA—E(A)II≥￡}=P{F(一。，￡(^)一。]u[E(^)+。．+。)}=(E(一。。E(^)一。IDLE(^)+‘．+。){，{)=万方数据22东华大学学报(自然科学版)第29卷L酬州m㈤。川ld(％弧婀嚣AB与E拙嚣懒贼曼一眠刚hMmm，川半d(聪，r业掣d<蹦，{>：j一∞￡2“、n1’’’7一{)≤CoV(J4，日)=EI(A—E(^)，)(口一E(B)，)]定义A与B的线性相关系数为p(A’B)=删封：：(A叫A))2d(聪㈡=掣证毕。设有n个随机变量A1，A2，⋯，A。∈B(日)。，如果(1)A呜=

7、A／A,(Vi，j=1，2，⋯，Ⅱ)；(2)对任意々个变量Ai，，A12，⋯，Ai,(1

8、∑则对任意s>，有kffilAk,}}。一0limpBtdf

9、峨一户，I

10、充分必要条件是E(D)为D的特征值并且