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1、实用标准数学解题技能提高讲座数学解题技能提高讲座3平面向量中题型的转变一、平面向量的实际背景与基本概念BACOFDE图11．（人教版P85例2）如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与、、相等的向量。变式1：如图1，设O是正六边形的中心，分别写出BACOFDE图2图中与、共线的向量。解：变式2：如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的线性运算2.（人教版第96页例4）DCAB如图，在平行四边形ABCD中，a，b，你能用a，b表示向量，吗？变式1：如图，在五边形
2、ABCDE中，DECABa，b，c，d，试用a，b，c，d表示向量和.解：(a+b+d)DCOAB(d+a+b+c)变式2：如图，在平行四边形ABCD中，若，a，b则下列各表述是正确的为（）精彩文档实用标准A．B．C．a+bD．(a+b)正确答案：选D变式3：已知=a，=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.a+b+c+d=0B.a－b+c－d=0C.a+b－c－d=0D.a－b－c+d=0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD中，若，则此四边形是( )A．平行四边形 B．菱形 C．梯形
3、 D．矩形正确答案：选C变式5：已知a、b是非零向量，则
4、a
5、=
6、b
7、是(a+b)与(a－b)垂直的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】∵==－8a－2b=2，∴.∴四边形ABCD为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（）A.λ(+),λ∈(0,1
8、)B.λ(+),λ∈(0,)C.λ(－),λ∈(0,1)D.λ(),λ∈(0,)【解析】由向量的运算法则=+，而点P在对角线AC上，所以与同向，且
9、
10、＜
11、
12、,∴=λ(+),λ∈(0,1).正确答案：选A变式8：已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=,则下列各式：①=－②=+③=－+④++=精彩文档实用标准其中正确的等式的个数为（）A.1B.2C.3D.4正确答案：选B3．（人教版第98页例6）ba如图，已知任意两个非零向量a、b，试作a+b，a+2b，a+3b，你能判断A、B、C三点之间的
13、位置关系吗？为什么？变式1：已知a+2b，2a+4b，3a+6b(其中a、b是两个任意非零向量)，证明：A、B、C三点共线．证明：∵a+2b，2a+4b，∴所以，A、B、C三点共线．变式2：已知点A、B、C在同一直线上，并且a+b，a+2b，a+3b(其中a、b是两个任意非零向量)，试求m、n之间的关系．解：a+b，a+2b由A、B、C三点在同一直线上可设，则所以即为所求．4．（人教版第102页第13题）DCEFAB已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：变式1：已知任意四边形AB
14、CD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：.证明：如图，连接EB和EC，由和可得，（1）由和可得，（2）（1）+（2）得，（3）∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，代入（3）式得，精彩文档实用标准三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（人教版第109页例6）已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a//b，求y．变式1：与向量a=(12，5)平行的单位向量为（）A．B．C．或D．或正确答案：选C变式2：已知a，b，当a+2b与2a－b共线时，值为（）A．1B．2C．D．正确答案：选D变式3：已知A(0,3)、B(2,0
15、)、C(－1,3)与方向相反的单位向量是()A．(0,1)B．(0,－1)C．(－1,1)D．(1,－1)正确答案：选A变式4：已知a=(1，0)，b=(2，1)．试问：当k为何实数时，ka－b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？解：因为ka－b，a+3b．由已知得，解得，此时，ka－b，a+3b，二者方向相反．2.（人教版第110页例8）设点P是线段上的一点，、的坐标分别为，．(1)当点P是线段上的中点时，求点P的坐标；(2)当点P是线段的一个三等分点时，求P的坐标变式1：已知两点，，，则P点坐标是（）A．B．
16、C．D．正确答案：选B精彩文档实用标准OAPQBab变式2：如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝ ，＝ (用a、b表示)四、平面向量的数量积5．（人教版第116页例3）已知
17、a
18、＝6，
19、b
20、＝4且a与b的夹角为，求(a+2b)·(ab)．变式1：已知那么与夹角为A、B、C、D、正确答案：选C变式2：已知向
