机械优化设计作业-10-搜索区间的确定与区间消去法原理-副本

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1、《机械优化设计》课程作业（2014至2015学年度第峑学期）班级学号姓名第二节搜索区间的确定与区间消去法原理欲求一元函数f(Q)极小点/(为书写方便，这里仍用同一符号f表示相应的一元函数)，必须先确定(X*所在的区间。一、确定搜索区间的外推法在一维搜索时，假设函数f(Q)具有如图所示的单谷性，即在所考虑的区间内部，函数f(a)有唯一的极小点M。为了确定极小点a*所在的区间［a,b］,应使函数f(a)在区间［a,b］里形成“高一低一高”趋势。为此，从"0开始，以初始步长h°向前试探。如果函数值上升，则步长变号，即

2、改变试探方向；如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。区间的始点、中间点依次沿试探方向移动一步。此过程一直进行到函数值再次上升吋为止，即可找到搜索区间的终点。最后得到的三点即为搜索区间的始点、中间点和终点，形成函数值的“高一低一高”趋势。图3-2表示沿a的正向试探。每走一步都将区间的始点、中间点沿试探方向移动一步(进行换名)。经过三步，最后确定搜索区间并且得到区间始点、中间点和终点y2

3、，最后得到始点、中间点和终点ai>a2>a3及它们的对应函数值yx>y2

4、.片./(O0二、区间消去法原理搜索区间［a,b］确定之后，采用区间消去法逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假定在搜索区间［a,b］内任取两点叭、",且3］〈亠，并计算函数值f(引)、f(bj。于是可能有下列三种情况：1)f(a1)

5、间［a,bj内，2)f(a1)>f(b1),如图3-5b所示。同理，极小点应在区间［at,b］内。3)f(ax)=f(^),如图3-5c所示，这是极小点应在［a】，bj内。根据以上所述，只要在区间［a,b］内取两个点，算出它们的函数值并加以比较，就可以把搜索区间［a,b］缩短成［町，bj.［a,bj或［a「b］。应当指岀，对于第一种情况，我们己算出区间［a,bj内a】点的函数值，如果要把搜索区间［a,bj进一步缩短，只需在其内再取一点算出函数值并与f(aj加以比较，即可达到目的。对于第二种情况，同样只需再计算一

6、点函数值就可以把搜索区间继续缩短。第三种情况与前而两种情况不同，因为在区间［巧，bj内缺少已算出的函数值，要想把区间［a】，bj进一步缩短，需在其内部取两个点(而不是一个点)计算出相应的函数值再加以比较才行。如果经常发生这种情况，为了缩短搜索区间，需要多计算一倍数量的函数值，这就增加了计算工作量。因此，为了避免多计算函数值，应把第三种情况合并到前面两种情形屮去。例如，可以把前面三种情况改为下列两种情况：1)若f(aj〈f(bj,则取［a,bj为缩短后的搜索区间。2)若f(a】)〉=f(S),则取［,b］为缩短后

7、的搜索区间。三、一维搜索方法的分类从上述的分析中可知，每次为了缩短区间，只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而，对于插入点的位置，则可以通过不同的方法来确定。这样就形成了不同的一维搜索方法。概括起来，可将一维搜索方法分成两大类。一类称为试探法。这类方法是按某种给定的规律来确定区间内插入点的位置的。此点位置的确定仅考虑加快区间缩短速度，而不顾及函数值的分布关系。属于试探法一维搜索方法的有黄金分割法、斐波那契(Fibonacci)法等。另一类--维搜索方法称为插值法或函数逼近法。这类方法根据某些点处的某些信息

8、，如函数值、一阶导数、二阶导数等，构造一个插值函数来逼近原来函数，用插值函数的极小点作为区间的插入点。属于插值法一维搜索方法的有二次插值法、三次插值法等。