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时间:2020-09-04
《机械优化设计作业-10-搜索区间的确定与区间消去法原理---副本.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1《机械优化设计》课程作业(2014至2015学年度第2学期)班级学号姓名1第二节搜索区间的确定与区间消去法原理欲求一元函数f(ɑ)极小点α∗(为书写方便,这里仍用同一符号f表示相应的一元函数),必须先确定α∗所在的区间。一、确定搜索区间的外推法在一维搜索时,假设函数f(ɑ)具有如图3-1所示的单谷性,即在所考虑的区间内部,函数f(ɑ)有唯一的极小点α∗。为了确定极小点α∗所在的区间[a,b],应使函数f(ɑ)在区间[a,b]里形成“高—低—高”趋势。为此,从ɑ=0开始,以初始步长h0向前试探。如果函数值上升,则步长变号,即改变试
2、探方向;如果函数值下降,则维持原来的试探方向,并将步长加倍。区间的始点、中间点依次沿试探方向移动一步。此过程一直进行到函数值再次上升时为止,即可找到搜索区间的终点。最后得到的三点即为搜索区间的始点、中间点和终点,形成函数值的“高—低—高”趋势。图3-2表示沿ɑ的正向试探。每走一步都将区间的始点、中间点沿试探方向移动一步(进行换名)。经过三步,最后确定搜索区间[α1,α3]并且得到区间始点、中间点和终点α1<α2<α3对应的函数值y1>y23、到始点、中间点和终点α1>α2>α3及它们的对应函数值y1>y2f(b1),如图3-54、b所示。同理,极小点应在区间[a1,b]内。3)f(a1)=f(b1),如图3-5c所示,这是极小点应在[a1,b1]内。根据以上所述,只要在区间[a,b]内取两个点,算出它们的函数值并加以比较,就可以把搜索区间[a,b]缩短成[a1,b1]、[a,b1]或[a1,b]。应当指出,对于第一种情况,我们已算出区间[a,b1]内a1点的函数值,如果要把搜索区间[a,b1]进一步缩短,只需在其内再取一点算出函数值并与f(a1)加以比较,即可达到目的。对于第二种情况,同样只需再计算一点函数值就可以把搜索区间继续缩短。第三种情况与前面两种情5、况不同,因为在区间[a1,b1]内缺少已算出的函数值,要想把区间[a1,b1]进一步缩短,需在其内部取两个点(而不是一个点)计算出相应的函数值再加以比较才行。如果经常发生这种情况,为了缩短搜索区间,需要多计算一倍数量的函数值,这就增加了计算工作量。因此,为了避免多计算函数值,应把第三种情况合并到前面两种情形中去。例如,可以把前面三种情况改为下列两种情况:1)若f(a1)=f(b1),则取[a1,b]为缩短后的搜索区间。三、一维搜索方法的分类从上述的分析中可知,每次6、为了缩短区间,只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而,对于插入点的位置,则可以通过不同的方法来确定。这样就6形成了不同的一维搜索方法。概括起来,可将一维搜索方法分成两大类。一类称为试探法。这类方法是按某种给定的规律来确定区间内插入点的位置的。此点位置的确定仅考虑加快区间缩短速度,而不顾及函数值的分布关系。属于试探法一维搜索方法的有黄金分割法、斐波那契(Fibonacci)法等。另一类一维搜索方法称为插值法或函数逼近法。这类方法根据某些点处的某些信息,如函数值、一阶导数、二阶导数等,构造一个插值函数来逼近原来函数,用插值函数的7、极小点作为区间的插入点。属于插值法一维搜索方法的有二次插值法、三次插值法等。7
3、到始点、中间点和终点α1>α2>α3及它们的对应函数值y1>y2f(b1),如图3-5
4、b所示。同理,极小点应在区间[a1,b]内。3)f(a1)=f(b1),如图3-5c所示,这是极小点应在[a1,b1]内。根据以上所述,只要在区间[a,b]内取两个点,算出它们的函数值并加以比较,就可以把搜索区间[a,b]缩短成[a1,b1]、[a,b1]或[a1,b]。应当指出,对于第一种情况,我们已算出区间[a,b1]内a1点的函数值,如果要把搜索区间[a,b1]进一步缩短,只需在其内再取一点算出函数值并与f(a1)加以比较,即可达到目的。对于第二种情况,同样只需再计算一点函数值就可以把搜索区间继续缩短。第三种情况与前面两种情
5、况不同,因为在区间[a1,b1]内缺少已算出的函数值,要想把区间[a1,b1]进一步缩短,需在其内部取两个点(而不是一个点)计算出相应的函数值再加以比较才行。如果经常发生这种情况,为了缩短搜索区间,需要多计算一倍数量的函数值,这就增加了计算工作量。因此,为了避免多计算函数值,应把第三种情况合并到前面两种情形中去。例如,可以把前面三种情况改为下列两种情况:1)若f(a1)=f(b1),则取[a1,b]为缩短后的搜索区间。三、一维搜索方法的分类从上述的分析中可知,每次
6、为了缩短区间,只需要在区间内再插入一点并计算其函数值。然而,对于插入点的位置,则可以通过不同的方法来确定。这样就6形成了不同的一维搜索方法。概括起来,可将一维搜索方法分成两大类。一类称为试探法。这类方法是按某种给定的规律来确定区间内插入点的位置的。此点位置的确定仅考虑加快区间缩短速度,而不顾及函数值的分布关系。属于试探法一维搜索方法的有黄金分割法、斐波那契(Fibonacci)法等。另一类一维搜索方法称为插值法或函数逼近法。这类方法根据某些点处的某些信息,如函数值、一阶导数、二阶导数等,构造一个插值函数来逼近原来函数,用插值函数的
7、极小点作为区间的插入点。属于插值法一维搜索方法的有二次插值法、三次插值法等。7
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