解析几何中的定值问题探究

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1、解析几何中的定值问题探究解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。一.角为定值例1.在平面直角坐标系中，圆的方程为，为圆上一点．若存在一个定圆，过作圆的两条切线，切点分别为，当在圆上运动时，使得恒为，求圆的方程．解：设定圆圆心M，半径为，动点，由题意知，即，由于点P在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以有对任意都成立，所以，所求圆方程为(x－1)2＋y2＝1．变式：已知双曲

2、线的离心率为,右准线方程为.设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明：的大小为定值.证明：由题意：解得：所以所以双曲线方程为：点在圆上，圆在点处的切线的方程为,化简得由及,得因为切线与双曲线交于不同的两点且所以，且设两点的坐标分别为则因为,且所以为定值.二.斜率定值（倾斜角定值）例2.已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2,1)．若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．解：方法一：因为椭圆C的离心率为，且过点A(2,1)，所以，

3、解得所以椭圆C的方程为因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．设点，由得①因为点A(2,1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则，所以同理所以又，所以直线PQ的斜率，所以直线PQ的斜率为定值，该值为.方法二　设直线PQ的方程为y＝kx＋b，点则，所以，因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称，所以，即化简得所以①由得②则，代

4、入①，得整理得所以若，可得方程①的一个根为2，不符合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为.变式：过抛物线（＞0）上一定点＞0），作两条直线分别交抛物线于，，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数．证明：因为与的斜率存在且倾斜角互补所以由相减得，故同理可得，所以所以由相减得，∴∴直线的斜率为非零常数．三.线段长度定值例3.如图，在平面直角坐标系中，点，直线，点在直线上移动，是线段与轴的交点，.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设圆过，且圆心在曲线上，是圆在轴上截得的弦，当运动时，弦长是否为定值？请说明理由．解　(1)依

5、题意知，点R是线段FP的中点，且，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵点Q在线段FP的垂直平分线上，∴

6、PQ

7、＝

8、QF

9、，又

10、PQ

11、是点Q到直线的距离，故动点Q的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线，其方程为．(2)弦长

12、TS

13、为定值．理由如下：取曲线C上点，到轴的距离为，圆的半径，则，因为点M在曲线C上，所以，所以，是定值．变式1：已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点，若动圆过点，且圆心在抛物线上运动。点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，说明理由。解：设圆心，点.因为圆过点，可

14、设圆的方程为：令，得所以所以设抛物线方程为：因为圆心在抛物线上，则所以由此可得，当时，为定值.故存在一条抛物线，使为定值.变式2：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为与，圆：．若为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径的圆与圆的公共弦为，证明：点到直线的距离为定值．解：（1）得①又②由①，②得（2）设点，则圆即③又圆④由③，④得直线QT的方程为所以因为在椭圆上，所以所以四.面积定值例4.设是椭圆上的两点，已知向量，,若且椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点.试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.解：的面

15、积为定值,证明如下：证明：由题意知解得所以椭圆的方程为                    （1）当直线斜率不存在时，即,由得又所以所以所以三角形的面积为定值                        （2）当直线斜率存在时：设的方程为由得所以由得 即代入整理得：所以所以三角形的面积为定值. 五.数量积定值例5.已知圆，一条动直线过点与圆相交于两点，是的中点，与直线相交于,探索是否与直线的倾斜角有关。若无关，请求出其值；若有关，请说明理由解：因为所以①当直线与x轴垂直时，易知则所以②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为：则由得所

16、以所以综上所述：与直线的斜率无关，因此与直线倾斜角也无关且.六.直线方程定式例6.已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，直线与椭圆交于两点，直线交于点，试问：当变化时，点是否在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；