概率论与随机过程第3章

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1、上海大学通第三章平稳随机过程信学院平稳随机过程的定义集平均/时间平均/各态历经平稳过程相关函数的性质高斯随机过程1上上一章讨论的随机过程X(t)：海大学通时间函数族:{x((),t),x((),t),…x(()t)……}12n或:不同时刻t所对应的n维R.V向量:{X(t),X(t),…X(t)}12n信学院统计研究方法:EX(t)m(t),(t)EX2(t),2(t)DX(t),XXXR(t,t),C(t,t),R(t,t),C(t,t)。X12X12XY12XY12它们不仅都是

2、时间的函数，而且相关函数及协方差函数还取决于不同的时刻点。统计特征不随时间的推移而变化的随机过程?2上§313.1平稳随机过程海大学通3.1.1严（狭义）平稳随机过程(SSS)定义信学院设X(t)为一随机过程，如果对于任意的n和，其n维概率密度（或分布函数）满足：pxx(,,,;,,,)xtttXn1212npxx(,,,;xt,t,,t)Xn1212n则称X(t)是严（狭义）平稳随机过程。即：严平稳随机过程的统计特性不随时间的平移而变化。3上海大例：针对同一个平稳随机过程，上午8

3、点测得的统学通计特性与下午2点测得的统计特性是相同的。信学院由定义得到下列性质：（1）一维概率密度与时间t无关：令t1pxtpxt(;)(;)px(;)0px()XX1111XX1物理含义：平稳随机过程在任一时刻的随机变量的概率密度都是相同的。4上海大（2）二维概率密度只与时间差tt有21学通关，而与时间起点无关：信学院p(x,x;t,t)p(x,x;t,t)X1212X1212(令t)p(x,x;0,tt)1X1221p(x,x;),ttX122

4、1物理含义：平稳随机过程中时间间隔相同的二个随机变量的联合概率密度都是相同的。5上由严平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，二维海大概率密度只与时间差tt有关，可得下列推论：21学通EX(t)xp(x)ddxmEXt22()xpx()ddx2XX11X1X信学院22DX(t)(x1mX)pX(x1)dx1XR(t,t)xxp(x,x;t,t)dxdxxxp(x,x;)dxdxX1212X121212

5、12X1212R(),ttX21CttRttmtmtR(,)(,)()()()mmXXX12121X2XXX2RmXX()CX()严平稳随机过程的数学期望和方差都是常数，与时间无关;相关函数只是时间差的函数，而与时间起点无关。6上海大学通问题---如何判定一个过程是严格平稳的信学院按定义只有了解了概率密度函数的特性才能判断随机过程的严（狭义）平稳性。往往很难获得定义中的条件。7上海大3.1.2宽（广义）平稳随机(()WSS)过程学通设X()X(t)为一随机过程，若满足：

6、信学院EX(t)mXR(t,t)R(),ttX12X21EX2(t)则称X(t)是宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。22EXt()()t表示随机过程平均功率有界。X宽（广义）平稳随机过程的定义是从统计平均的意义上考察随机过程的平稳性。8上海大3133.1.3严（狭义）平稳与宽(广义)平稳间关系学通严严稳定宽稳平稳必定是宽平稳的，但但则定反之则不一定。信严平稳的定义条件(任意维)本身包含了宽平稳的条件。学院宽平稳条件:一维,二维概率密度满足,n维概率密度不一

7、定能满足严平稳的条件要求，因此它未必是严平稳随机过程。宽平稳的高斯过程必定也是严平稳的。随机过程X(t)和Y(t)，如果它们的互相关函数仅是时间差的函数，而与时间起点无关，即R(,)ttEXtYt[()()]R(),=ttXY1212XY21称X(t)和Y(t)联合宽平稳，或平稳相依。9上海大例1：设随机过程X()()tacos(()0t)，其中a,0为常数,是区间(0,2)上均匀分布的随机变量，这种信号通学通常称为随相正弦波。求证X(t)是宽平稳的。信证：由题意知，随机变量的

8、概率密度为学院1,02f()20,其它其它因而，根据定义式，求得过程X(t)的均值，自相关函数和均方根分别为mtEXt()[()]xt()()fdX21atdcos()002010上海大RERX((tt,)[()()])[(EXXt)()XXt]Ea[cos(t)cos((at))]00学