数学归纳法及其应用 毕业论文

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1、学号：2008310861哈尔滨师范大学学士学位论文题目：数学归纳法及其应用学生：指导教师：年级：2008级专业：数学与应用数学系别：数学系学院：数学科学学院哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目矩阵初等变换及其应用学生姓名焦阳指导教师林立军副教授年级2008级专业数学与应用数学2011年11月25日课题来源：矩阵初等变换及其应用课题研究的目的和意义：由于矩阵的初等变换贯穿着代数学习的始终，那么掌握好矩阵的初等变换对我们学习好高等代数有很大帮助。本文对初等变换的应用做了总结，使读者能够系统地了解初等变换在不同地方

2、的应用。方便读者日后学习中使用初等变换解题。很多复杂、繁琐的问题经过初等变换都可以化为简单、易于解决的问题。所以对于矩阵的初等变换的研究具有非常重要的意义。国内外同类课题研究现状及发展趋势：课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：本文主要探究矩阵的初等变换在高等代数、线性代数中的应用。总结了矩阵的初等变换的一些基本概念和重要结论，然后根据这些概念和结论，把矩阵的初等变换的方法应用到解决各类问题当中。并把初等变换应用的具体方法提炼出来，方便日后解题使用。在研究过程中，方法的总结是最主要的内容，也是研究

3、的目的。经过对大量习题的研究、比对，对参考文献的研究，最后将初等变换在具体问题中的具体方法用最简洁、直观的方式总结出来。课题研究起止时间和进度安排：起止时间：2011年11月25日至2012年4月25日。进度安排：1、2011年11月25日定题2、2011年11月26-12月1日拟定大纲3、2011年12月2日-12月31日资料查询，写好开题报告。4、2012年1月1日-2月1日理论分析。5、2012年2月2日到4月1日形成初稿，并修改论文。6、2012年4月2日到4月25日定稿及准备答辩。课题研究所需主要设备、仪器

4、及药品：无外出调研主要单位，访问学者姓名：无指导教师审查意见：同意开题。指导教师（签字）　　　　年月教研室（研究室）评审意见：同意开题。____________教研室（研究室）主任（签字）　　　　年月院（系）审查意见：同意开题。____________院（系）主任（签字）　　　　年月学士学位论文题目：数学归纳法及其应用学生：郎惠玲指导教师：林立军副教授年级：2008级专业：数学与应用数学系别：数学系学院：数学科学学院哈尔滨师范大学2012年5月数学归纳法及其应用摘要：本文主要从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学

5、归纳法的类型、使用数学归纳法的步骤、数学归纳法的应用等几方面进行阐述，介绍了数学归纳法在解决解行列式问题、数列证明、不等式证明和数的整除证明等方面的应用，目的是通过应用数学归纳法解题，从而培养运算能力、观察能力、逻辑思维能力和解决综合性问题的能力。关键词：数学归纳法；递推；不等式；整除数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，其基础是观察与实践.例如哥德巴赫猜想、二项展开式和笛卡尔-欧拉公式等，无一不是观察、实验和归纳的结果.下面我从数学归纳法的基础、数学归纳法的原理、数学归纳法的类型、数学归纳法

6、的应用等几方面进行阐述.一、数学归纳法的基础严格意义上的数学归纳法产生于世纪以后，意大利数学家莫罗利科首先对与自然数有关的命题作了深入的考察.递归推理的思想方法是指：它首先确定命题对于第一个自然数是正确的，然后再证明命题对于以后的自然数具有递推性，即如果一个命题对于第一个自然数是正确的，那么作为一种逻辑必然，它对于该数的后继数也是正确的.意大利数学家皮亚诺（Peano，Giuseppe，）于年在其著作《算数原理新方法》中提出了著名的自然数公理体系，其中欧冠的“归纳公理”成为数学归纳法的理论依据.皮亚诺自然公理的内容是

7、：①是自然数；②每一个确定的自然数，都有一个确定的后继数，也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，的后继数是，的后继数是等等）；③如果都是自然数的后继数，那么；④不是任何数的后继数；⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数是对的，又假定它对自然数为真时，可以证明它对也真，那么，命题对所有自然数都真.（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性.）这条公理也叫归纳假设，即数学归纳原理.若将也视作自然数，则公理中的要换成.二、数学归纳法的原理数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——

8、最小数原理.我们用表示全体非负整数的集合：.最小数原理：正整数集的任意一个非空子集必含有一个最小数，也就是这样一个数，对于任意都有.定理1（数学归纳法原理）设有一个与正整数有关的命题.如果（ⅰ）当时，命题成立；（ⅱ）假设时命题成立，则时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数都成立..证明：假设命题不是对于一切正整数都成立.令表示使命题不成立的正