几类相容与不相容约束矩阵方程的迭代法的研究

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1、几类相容与不相容约束矩阵方程的迭代法的研究摘要约束矩阵方程问题是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程解的问题．它是近年来数值代数领域中研究的重要课题之一，在结构设计，系统识别，自动控制理论，振动理论等领域有着广泛的应用．本篇博士论文主要研究以下几类约束矩阵方程问题：问题I给定A，B∈胛“，S∈形“，求X∈S，使得AX=B或IlAX—BII=rain问题Ⅱ给定A∈jp“，B∈jp”，C∈曰“”，S∈形“，求X∈S，使得AXB=C或}IAXB—cf

2、=rnin问题Ⅲ给定A1∈尼”“，B1∈尼。。P，C1∈曰m”，A2∈尼”2“，B2∈口‘”，C2∈尼m”，S∈舻“，求X∈S，使得

3、{AA拨1X岛B1：=GCl或ll(三：妻主)一(是)0=mi几．问题Ⅳ设＆表示上述问题的解集合，给定xQ∈S∈舻“，求X∈S立，使得lIx一弱0=笋蜘IIX—X00问题V给定A∈Rp”t，Bi∈jpt。q(i=1，2，⋯，z)，C∈Rp。q，最冬Rr"“，求阢，咒，⋯，矧(其中五∈最，江1，2，⋯，f)，使得A1X1岛十A2恐易+⋯+Al蜀Bl=C问题Ⅵ设问题V相容，且其解集合为sF，给定矩阵组犀-，_2，⋯，-l】(其中瓦∈&∈彤t×m0=1，2，⋯，f))，求【盘，宠，⋯，毫】∈&，使得0矗一叉-If2+II寇一-2112+⋯+ll宝一-!1122阢，x?‰】。如[fI五一

4、_1酽+IIxz一_2酽+⋯+JIx,一_l晌其中”lI为Frobenius范数，S&为满足某种约束条件的矩阵集合，如对称矩阵、反对称矩阵、中心对称矩阵．中心反对称矩阵、自反矩阵、反自反矩阵、双对称矩阵．对称次反对称矩阵等等．本文的主要工作和创新点如下：1．首次提出了子空间上梯度矩阵(VF(X))的概念．2．利用子空间上的泰勒展式，空间分解定理以及投影定理得到了子空间上梯度矩阵的计算公式(不同的子空间，梯度矩阵是不相同的)．3．引入了广义共轭(M一共轭)的概念，在此基础上提出了广义共轭梯度法．II博士学位论文4．利用广义共轭梯度法，讨论了问题I、II和Ⅲ解的情况：当方程(组)相容

5、时，研究了方程(组)的一般解、(反)对称解、中心(反)对称解、(反)自反矩阵解、双对称解、对称次反对称解及其最佳逼近等问题；当方程(组)不相容时，研究了方程(组)的最tJ、--乘一般解、最小二乘(反)对称解、最小二乘中心(反)对称解、最小二乘(反)自反矩阵解、最小二乘双对称解、最小二乘对称次反对称解及其最佳逼近等问题．成功地解决了这些问题．广义共轭梯度法在迭代过程中具有以下特点：(1)能够自动地判定解的情况；当方程(组)相容时，得到方程(组)的解；当方程(组)不相容时，得到方程(组)的最小二乘解．(2)对任意初始矩阵，在没有舍入误差的情况下，经过有限步迭代得到所求问题的一个解．若

6、取特殊的初始矩阵，则得到问题的极小范数解，从而巧妙地解决了问题Ⅳ．5．构造了一种迭代法系统地研究了问题V的一般解组、(反)对称解组、中心(反)对称解组，(反)自反矩阵解组、双对称解组、对称次反对称解组及其最佳逼近等问题，并成功地解决了这些问题．此博士论文得到了国家自然科学基金的资助(10571047)．此博士论文用L^TEX2。软件打印．关键词：约束矩阵方程问题；Procrustes问题；梯度矩阵；矩阵范数；最佳逼近解III些鲞塑查兰至塑窒竺塞望堡查堡竺兰垡堂箜堑茎：：!：AbstractTheconstrainedmatrixequationproblemiStofindthe

7、solutionofamatrixequationinaconstrainedmatrixset．Thestudyofithasbeenahottopicinthefieldofnumericalalgebrainrecentyears．Actually,itiswidelyusedinmanyfieldssuchasstructuraldesign，systemidentification，automaticscontroltheory,vibrationtl如ory．Thisdissertationconsidersmainlythefollowingproblems．Pro

8、blemIGivenA，B∈Rm。”，S∈．R“。竹，findX∈S，suchthatAX=BorlIAX—B0=minProblemIIGivenA∈．≠Z“。”，B∈．Fp。p，C∈．≠p。p，S∈．Fp。”，findX∈S．suchthatAXB=CorIIAXB—CIl=minProblemⅢGivenA1∈Rml。”，B1∈。Fp。p，a∈Rml。p，A2∈Rm2。n，B2∈尼。”，G∈冗m”，S∈尼1“，findX∈S，suchthat{A如1xX岛B1：=QClor