2014年全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案

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1、2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.仁已知A={xx-4x^-3<0,xGM,B={x2^a^Q9#一2（才7）a+5W0,xER}若矩E则实数日的取值范围是2.已知椭圆刍+J的左右焦点分别为斥与卩点P在直线/：164x—+8+2>/3=0卜・当Z耳P坊取最大值时，比斜的值为3.设/(%)=sin4x-sinxcosx+cos4x,则/⑴的值域是4.—个球的内接锥的最大体积与这个球的体积之比为5.函数y=兀+-3兀+2的值域为6.已知正整数〃不超过2000,并且能表示成不少于60

2、个连续正整数之和，那么，这样的和的个数是・7.用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程l『x—[Igx]—2R的实根个数是■8・各项均为实数的等比数列{日」前〃项之和记为S〃，若£0=10,530=70,则S40等于二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知P。所围9.(本题满分16分〉如图，有一列曲线％Pi,P2,成的图形是面积为1的等边三角形，Pm是对进行如下操作得到的：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k二0,1,2,3,…),记Sn为曲

3、线Pk所围成图形面积。①求数列｛Sn｝的通项公式；②求limS”。HT8Pl10・(本题满分20分》如题10图，P是抛物线>2=2兀上的动点，点B,C在y轴上，圆(x-l)2+y2=l内切于APBC,求WBC面积的最小值.［解］设P(兀o，%),B(O,b),C(O,c),不妨设b>c・直线PB的方程:y-b=化简得(儿一加一3+兀〃=°・又圆心(1,0)到PB的距离为1,,…5分J(yo_b)2+卅故(Jo-^)2+彳=(>o-by+2x0b(y0-b)+x^b29易知x0>2,上式化简得g一2)b~+2y{}b-x0=0,同理有(如一

4、2)c2+2yQc一兀°=0・■■■10分所以b+c=叫b,养,兀（）_2兀0_2因戸（兀,儿）是抛物线上的点,（b—c）2=4兀b-c=^^Uo-2）2兀一2则*=晋沪有）‘：=2x0,则■■■15分所以粘厂如〜冒己入十宀+拦+心届心.当（兀。-2）2=4时，上式取等号，此时X（）=4,y0=±2^2・因此肚的最小值为8・…20分1仁（本题满分20分》设/（x）=x2+a・记fx）=f（x）9厂（劝二f（严⑴），〃二2,3,…，M=[aeR对所有正整数畑

5、.r（0）

6、<2]・证明：mJ—2,-・4一、填空题：本大题共8小题，每小题8

7、分，共64分.K【解】后⑴3）；又，aW—21一"丘（一1,—^）,当xG（1,3）时，—7G（^/5—7,-4）.—4WaW—1・2、【解】由平面几何知，要使ZFf场最大，则过舀迅，P三点的圆必定和直线/相切于P点。设直线/交X轴于＞4（-8-273,0）,则ZAPF—A&P,即APF,□AF2P,即PF、AP坊(2侖,0),（1）,又由專定理,AP2=AF}-AF2(2),而f；(-2^3,0),作轴截面，则r=h（2R-H）.A(-8-273,0),从而有AF}=S,

8、人巴

9、=8+4笫。代入(1),(2)得3、【解】/(x)

10、=sin4x-sinxcosx+cos4x=1——sin2x——sin22x。令t=sin2x9则/(兀)==—+—)2o因此ming(f)=g(l)=[228228鸞書g(f)=g(-*)=善-*卫=善o即得00等价于丄+2〉丄或丄+2<二2log丄兀2log,x222即丄>-丄或丄V—?・log"2log!x222此时log,%<-2或log丄兀>0或

11、-？vlog丄xvO・2272・・・解为”>4或0

12、2内有一解.当1