解斜三角形(先打印)

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1、解斜三角形一、考点扫描考点正弦定理余弦定理面积公式要求掌握正弦定理，了解正弦定理的推导，能利用正弦定理解决三角形中的几何计算问题。掌握余弦定理，了解余弦定理的推导，能利用余弦定理解决三角形中的几何计算问题。能利用面积公式求斜三角形的面积。题型综合使用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数和三角函数公式等进行边角关系的化简与求值，选择、填空、解答题都可出现。分值5－12分二、重难点提示重点：利用正弦定理、余弦定理解斜三角形相关问题。难点：综合使用正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数和三角函数公式等进行边角关系的化简与求值。一、知识脉络图第13页二、知识点拨1.正弦定理直角三角形AB

2、C中，已知∠C＝90°，则，将其推广到一般三角形得（R为外接圆半径），即为正弦定理，其作用主要有两点：（1）由条件ASA，AAS，SSA求其他边角。（2）利用实现边角关系的互化例如：在中，若，，，则（）A.B.C.D.答案：B2.余弦定理直角三角形中，∠C＝90°，则（，将其推广到一般三角形即得余弦定理：，（你能写出另外两组吗？）其作用主要有两点：（1）由条件SAS，SSS求其他边角。（2）处理出现边的平方、和、积的式子。3.三角形的面积公式直角三角形中，∠C＝90°，则，将其推广到一般三角形得。其作用主要是结合正余弦定理、三角函数求值与变形解决有关三角形面积的问题。4.其他常用结论在

3、中，，以及由此推导的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：又与和差公式与二倍角公式相联系，成为高考热点。随堂练习：已知锐角△ABC的面积为3√3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（）A.75°B.60°C.45°D.30°解：∵三角形为锐角三角形∴C=60°故选B。夯实基础例题1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，∠B＝30°，求A、C和c。第13页思路导航：本题已知条件为SSA，考虑利用正弦定理处理。解答过程：由＝，得＝，所以sinA＝，所以A＝45°或135°。当A＝45°时，C＝180°－30°－45°＝105°。又由＝，得c＝＋1。当A＝13

4、5°时，C＝180°－30°－135°＝15°。同理c＝－1。点评：本题已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理求解，但要判定△ABC是否有解，有几个解。产生多种解的原因是由于利用正弦值求角时有多种情况，若求得的正弦值大于1，肯定无解；正弦值等于1，肯定只有一解；正弦值小于1，要根据大边对大角进一步判断。本题为基础题。例题2在△ABC中，若＝2，b＋c＝7，cosB＝，则b＝_______。思路导航：条件中出现了边的和以及角的余弦值，考虑利用余弦定理解决。解答过程：在△ABC中，利用余弦定理，化简得：，与题目条件联立，可解得。点评：当条件中出现边之和、差、积、平方和等时，常考虑余弦定

5、理，此时要注意完全平方式、平方差公式以及基本不等式的应用。本题在求解时就利用了平方差公式进行整体代入，从而简化了运算，难度中等偏下。例题3在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（）A.30°B.60°C.120°D.150°思路导航：第一个条件可联想余弦定理，第二个条件可联想正弦定理，将其转化为边的条件，再结合第一个条件，利用余弦定理可解。解答过程：由正弦定理得，所以cosA＝＝，所以A＝30°点评：当题目中的条件出现边角混合时，基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。本题难度中等。例题4已知分别为三个内角的对边，（1）求；（2）若，的面积

6、为，求。思路导航：本题条件中出现了边角的混合，且边是齐次的，考虑利用正弦定理将其转化为角的条件，再利用正弦的和差公式可求得A。第二问选择含有角A的三角形面积公式可求。第13页解答过程：（1）由正弦定理得：（2）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、内角和定理与正弦的和差公式，综合性较强，但其解题思路和方法都是本知识点最常规的题型。本题难度中等偏上。厚积薄发例题1在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），判断三角形的形状。思路导航：本题条件中出现了边角的混合，且边是齐次的，考虑利用正弦定理将

7、其转化为角的条件，但直接转化有些繁琐，可考虑先作变形再转化。解答过程：已知等式可化为a2［sin（A－B）－sin（A＋B）］＝b2［－sin（A＋B）－sin（A－B）］∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA由正弦定理知上式可化为：sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA∴sinAsinB（sinAcosA－sinBcosB）＝0∴sin2A＝sin2B，由0＜2A，2B＜2得2A＝2B或2A＝－2B，即A＝B或A＝－