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《2011年全国高中数学联赛(江西赛区)试题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2011年全国高中数学联赛（江西赛区）预赛一、填空题（每小题10分，共80分）1、2011是这样的一•个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有个.2、设数列仏｝满足：勺=1卫2二2,且对于其中任三个连续项％"肿曲，都有（〃一1）%+（〃+1）陥.则通项2n3、以抛物线y=x2±的一点M（l,l）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形AMAB与AMCD,则线段A3与CD的交点E的坐标为.4、设x,y,zeR~,x+y+z=l,贝U函数f（x,y,z）=xy2z3的最人值是.5、sin6°sin42°sin66°sin78°=.6、正三棱锥D-ABC的底而边长为4,
2、侧棱长为8,过点A作与侧棱DB,DC都相交的截而AAEF,那么，AAEF周长的最小值是.7、满足/+7尸=2011的一组正整数（兀,y）=20118、用S（〃）表示正整数"的各位数字Z和，则工S（m）=n=l二、解答题（共3题，合计70分）9、（20分）、设A+B+C=180°,且满足：cos2A+cos2B+cos2CcosA+cosB+cosC的值.sinA4-sinB+sinCtp=［，求cosA+cosB+cosC10、（25分）如图，AABC的内心为/,M,N分别是AB.AC的中点，AB>AC,内切圆/分别与边BC,C4相切于D,E；证明:MN.BI.DE三线共点.11、（25分）
3、在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的a个顶点（其中a是小于2011的一个固定的正整数），一•按鼠标键，将会使这a个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；（1）、证明：如果a为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色,也可以经过冇限次这样的操作，使得所冇顶点都变成黑色；（2）、当d为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论.1>20.提示：这种四位数x}x2x3x4的个数，就是不定方程%!+x2++x4=4满足条件X,>1,x2,x3,x4>0的整解的个数；即y】+
4、兀2+心+兀4=3的非负整解个数，其中)[=旺一1,易知这种解有=Cl=20个，即总共有20个这样的四位数.(注：也可直接列举.)22、3—一・提示：由条件得，n2叫=(n-1)%-+(n+1)①+],所以⑺+l)(tz//+1-an)=(/?-1)(%—％),故=口，而禺""an~a„-l料+1勺+1一％an叽]一n--2n-3I■1■1n+1nn-2n(n+l)n于是H-l由此得an=a一an-)+(an--勺_2)+…+(色一4)+⑷=2(1--)+13、n(一1,2).提示：设A3工),工),kAB=°=X［+兀2，西一兀2直线AB方程为y一%,2=(兀］+兀2)(兀一召)
5、，即y=(%(+x2)x-x1x2,因为M4丄MB,贝U(Xj+1)(兀。+1)=—1,即-XjX2=2+(兀］+x2),代人方程得y-2=(%)+兀2)(兀+1)，于是点(-1,2)在直线上；同理,若设C(X3，€),D(兀4,对)，则CD方程为y-2=(x3+x4)(x+l),即点(-1,2)也在直线CD上，因此交点E的坐标为£(-1,2).4、丄.提示：由4321=x+y+Z"上+上+三+三+三22333<"24-33~4321-6-Z-3-y-2-即叫,厲,4时取得等号.5、占.提示:sin6°cos48°cos24°cos12°_cos6°sin6°cos48°cos24°cos1
6、2°cos6°_sin12°cos12°cos24°cos48°2cos6°_sin24°cos24°cos48°4cos6°_sin48°cos48°8cos6°sin96°116cos6°166、11.提示：作三棱锥侧面展开图，易知EF//BC,R由周长最小，得共线，于是等腰ADEFMEB,AE=AB=4,BE—1即BE=2,DE=6,EFDE_6_3~BC~~DB~S~4所以EF=3,由AlF=AE=4,则AA^AE+EF+FA,=11.7、(3&9).提示：由于2011是4N+3形状的数，所以y必为奇数，而兀为偶数，设x=2m,y=2〃+1,代人得4/n2+28n(z?+1)=200
7、4,m2+7«(n+1)=501.①而”(/?+1)为偶数，则加$为奇数，设m=2k+,则m2=4k伙+1)+1,由①得,£伙+1)+7・巾+1)=]25,②4则巴凹为奇数，且仏/7+1中恰有一个是4的倍数，当n=4r,为使47〃5+1)=7厂(4厂+1)为奇数，且7厂(4厂+1)<125,只有r=l,②成为4心+1)+35=125,即k伙+1)=90,于是z?=4J=9,x=3&y=9；若〃+1=4厂，为
