清北学堂讲义 高中物理竞赛解题方法 五、 极限法

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1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。赛题精讲例1：如图5—1所示，一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k，则物块可能获得的最大动能为。解析：球跟弹簧接触后，先

2、做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有mg=kx①图5—112由机械能守恒有mg(hx)Ekx②k2221mg联立①②式解得Emghk2k例2：如图5—2所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。清北学堂http://www.qbxt.cn图5—2解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与角有关，求时间t对于角的函数的极值即可。由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为a

3、gcos该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则12atOP212OP所以t①gcos由图可知，在△OPC中有OPOCsin(90)sin(90)OCcos所以OP②cos()2OCcos4OCcos将②式代入①式得tgcoscos()[coscos(2)]g显然，当cos(2)1,即时，上式有最小值.2所以当时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。2此题也可以用作图法求解。例3：从底角为的斜面顶端，以初速度水平抛出一小球，不计0空气阻力，若斜面足够长，如图5—3

4、所示，则小球抛出后，图5—3离开斜面的最大距离H为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，v0则由：vvtangt，解得运动时间为ttany0g22v012v02清北学堂http://www.qbxt.cn该点的坐标为xv0ttanygttang22g由几何关系得：H/cosyxtan2v0解得小球离开斜面的最大距离为Htansin。2g这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离

5、为3.0m的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m。若不计空气阻力，取2g10m/s，求所需的最小初速及对应的发射仰角。2图5—4解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。xv0cost根据平抛运动的规律，水流的运动方程为12yvsintgt02把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：222vgd/2cos(hdtan)02gd/[dsin2h(cos21)]222dhgd/dh[sin2cos2]h2222d

6、hdh2222令h/dtan,则d/dhcos,h/dhsin,上式可变为2222vgd/dhsin(2)h,显然,当sin(2)1,即29001h4亦即发射角4545arctan45arctan71.6时,v最小,022d322且最小初速v=g(dhh)310m/s9.5m/s.0例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。铁板和水平面间摩擦因数为，人和铁板间摩擦因数为，且>>。这样，人能使铁板朝

7、其跑动方向移动图5—5的最大距离L是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度af(Mm)gg。1清北学堂http://www.qbxt.cnMmMm2v由于铁板移动的距离L,故v越大，L越大。v是人与铁板一起开始地运动2a1的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦(Mm)g，根据系统的牛顿第二定律得：FmaM02FMm所以a2

8、g①哈mm3设v、v分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度因为mv(M