清北学堂讲义 高中物理竞赛解题方法 14近似法

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1、清北学堂-高中学业规划专家http://www.qbxt.cn高中奥林匹克物理竞赛解题方法十四、近似法方法简介近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高

2、考试题，越来越多地注重这种能力的考查.赛题精讲例1：一只狐狸以不变的速度沿着直线AB逃跑，一只猎犬1以不变的速率追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，2猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，图14—122故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度a,r为猎r犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于大小不变，如果求出D点的曲率

3、半径，2图14—2—甲清北学堂http://www.qbxt.cn此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度22aR其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达F与D，猎犬的速度方向转过的角度为t/R2而狐狸跑过的距离是：t≈L因而t/R≈t/L，R=L/12121-1-清北学堂-高中学业

4、规划专家http://www.qbxt.cn22所以猎犬的加速度大小为a=/L12R例2如图14—2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为时，收绳速率为，则该位置船的速率为多大？图14—2图14—2—甲解析要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在角位置经t时间向左行驶x距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一

5、直角三角形，因而有L=xcosLx两边同除以t得：cos，即收绳速率cos船tt因此船的速率为船cos例3如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？图14—3解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式sin.若取绳圈上很短的一小段绳AB=L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为T和T（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转

6、动，无切向加清北学堂http://www.qbxt.cnAB速度，所以T和T的大小相等，均等于T.T和T在半径方向上的合力提供这一段绳做匀ABAB2速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m，根据牛顿第二定律有：2TsinmR；2因为L段很短，它所对应的圆心角很小所以sin22mm将此近似关系和mR2R22mR代入上式得绳中的张力为T2图—14—3—甲-2-清北学堂-高中学业规划专家http://www.qbxt.cn例4在某铅垂面上有一固定

7、的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，

8、由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.解析直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为l、l、l，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间123记为T，再从B到C的时间为T，而从A直接沿斜边到C12所经历的时间记为T，由题意知TTT，可得l：l：l=3：4：5，3123123由此能得T与T的关系.1212因为lgTlgTT111122lT11所以l2T222因为l1：l2=3：4，所以T2T13小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为