清北学堂讲义 高中物理竞赛解题方法 六、递推法

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1、高中奥林匹克物理竞赛解题方法六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况.即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式.具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论.再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解.用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.塞题精析例1质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；„；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt时刻质点的速

2、度；（2）nt时间内通过的总路程.解析根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解.（1）物质在某时刻t末的速度为vatt2t末的速度为vv2at,所以vat2at2tt2t3t末的速度为vv3atat2at3at2t2t„„则nt末的速度为vvnatnt(n1)t清北学堂http://www.qbxt.cnat2at3at(n1)atnatat(123n)11at(n1)nn(n1)at2212（2）同理：可推得nt内通过的总路程sn(n1)(2n1)at

3、.12例2小球从高h180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度012减小(n2)，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s）n-1-解析小球从h0高处落地时，速率v02gh060m/s第一次跳起时和又落地时的速率vv/2102第二次跳起时和又落地时的速率vv/220…m第m次跳起时和又落地时的速率vv/2m022vhvh1020每次跳起的高度依次h,h，12242gn2gn…通过的总路程sh2h2h2h012m2h0111h(1)02

4、242m2nnnn22h0n15hhh300m02020n1n13经过的总时间为ttttt012mv2v2v01mgggv011m[122()]gnnv0n1清北学堂http://www.qbxt.cn()gn13v018sg例3A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎

5、物？解析由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1-2-所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、„、an，显然当an→0时三只猎犬相遇.3aaAABBcos60avt,111233aavta2vt,2

6、12233aavta3vt,32223aanvtn23因为anvt0,22a即ntt所以t3v此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.例4一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松

7、距离，设火车的牵引力为F，则有：12车头起动时，有(Fmg)smv1清北学堂http://www.qbxt.cn2拉第一节车厢时：(mm)vmv112121F故有vv(g)s1142m1212(F2mg)s2mv2mv2122拉第二节车厢时：(m2m)v2mv222422F5故同样可得：vv(g)s2293m3-3-„„2nF2n1推理可得v(g)snn1m322n1由v0可得:Fmgn3另由题意知F31mg,得n46因此该车头倒退起动时，能起

8、动45节相同质量的车厢.例5有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算