一元二次不等式及其解法

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1、一元二次不等式及其解法（知识讲解与典型例题）课标要求分析：　　经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系。掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题。课标建议在一元二次不等式的学习中，应注重了解一元二次不等式的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。本周学习目标：　　1．掌握一元二次不等式的基本解法；　　2．了解一元二次不等式与相应函数，方程的联系，体会数形结合的数学思想；　　3．初步掌握

2、高次(分式)不等式、无理不等式与绝对值不等式的解法；　　4．能将实际问题转化为数学问题，建立不等式模型，求解不等式。本周学习重难点：　　一元二次不等式的基本解法及与相应函数、方程的联系。本周学习内容：1．一元一次不等式的解法回顾　　为引入一元二次不等式和梳理不等式解法作准备。2．一元二次不等式的解法　　一元二次不等式的一般形式：　　　　由一元二次不等式的一般形式，即可发现其与二次函数和二次方程的联系，　　进而可以利用函数图象得到不等式的解集。　　设，两根为，。　　结合图象按判别式分类归纳下表：解集判别式R注意：　　（1）的情形要转化为的情形；　　（2），解集的变化。　　关于含

3、参讨论注意：8　　（1）对二次项系数讨论：定不等式类型、定图象（开口方向）类型；　　（2）对根的讨论：判别式（根的个数，交点个数）、根的分布（根的大小）；　　（3）对解集的讨论：画函数图象草图，根据图象定解集。　　（4）书写表达的规范。3．高次（分式）不等式的解法　　简单高次不等式的解法：穿线法。　　注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿。单独考虑孤立点。　　（回顾变号零点存在定理，穿线法的原理还是一个数形结合的思想。）　　分式不等式：分式化整式。　　一边化0，改写成乘积式，注意分母不等于0的限制。特别小心“≥，≤”型的不等式。4．无理及指对不等式的解法　　无理不等式：转化思

4、想，等价不等式（组）或数形结合　　或，　　，　　。5．绝对值不等式的解法　　含一个绝对值：　　或　　含两个或以上绝对值：零点分段法。　　也可利用绝对值的几何意义或结合函数图象求解。本周典型例题：　　1．解关于x的不等式：　　（1）　　（2）　　分析：注意对字母系数的讨论，分清谁是参数。提醒数形结合与数轴的运用。　　解析：（1）不等式可整理为　　　　　　　当，即或时，不等式解集为；8　　　　　　　当，即或时，若，解集为R；若，解集为；　　　　　　　当，即时，不等式解集为。　　　　　（2）不等式可整理为　　　　　　　当，即或时，不等式解集为　　　　　　　当，即或时，若，解集为R;

5、若，解集为；　　　　　　　若，即时，解集为。　　2．解下列一元二次不等式：　　（1）；（2）；　　（3）；　　　（4）。　　分析：熟悉一元二次不等式的基本解法，注意二次项系数的正负，化简变形，乘法公式。　　解析：（1）整理得，解集为。　　　　　（2）整理得，解集为R。　　　　　（3）整理得，解集为[-1，3]。　　　　　（4）整理得，解集为。　　3．已知二次函数，当时，有，解关于x的不等式。　　分析：考查二次函数与二次不等式的联系。深化对用函数图象解二次不等式的理解。　　解析：由时，有，说明不等式的解是，　　　　进而方程的两根为。　　　　　于是由根与系数的关系，，求得8　　　

6、　　故不等式即为，解得。　　4．若不等式的解集为，求a和b的值。　　分析：考查二次方程与二次不等式的联系。注意二次项系数的正负。　　解析：不等式的解集为，故。　　　　　利用二次不等式与方程的关系，　　　　　有，解得。这个解符合，从而a和b的值均为-2。　　5．若不等式对一切都成立，求实数m的取值范围。　　分析：本题是较为经典的综合运用二次不等式知识的题目。不等式含有参数m，分类讨论的思想是立刻要想到的，首先就是要“定二次项”。而后再运用判别式的知识解题。　　解析：由于二次项系数含有参数m，故先对二次项系数进行分类讨论。　　　　　若，即m=2，则不等式化为，对一切都成立，故m=

7、2符合题意。　　　　　当时，依题意需满足，解得。　　　　　综上，m的取值范围为。　　6．解关于x的不等式：　　（1）；（2）；（3）　　分析：本题侧重考查含参二次不等式的解法。在前面的题目中对含参讨论有一定了解后，本题要求掌握系统的含参讨论方法。数形结合，定开口、定△、定根（比大小）、画图、写解集。　　解析：　　（1）若，则为一元一次不等式，解集为；　　　　当时，方程两根为；　　　　若时，则解集为；　　　　若，则，解集为；　　　　若，则解集为；8　　　　若，则解集为。　　（2）若m=0，则为一元一次不等