近世代数ch2(1-6节)习题参考答案

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1、第二章前6节习题解答P35§11．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？解∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。2．举出一个有两个元的群例子。解对于普通乘法构成一个群。对于运算构成群。对于运算构成群。它们都是两个元的群。3.设是一个非空集合，是一个运算。若①运算封闭；②结合律成立；③中存在右单位元：，有；④，，有。则是一个群。证(仿照群第二定义的证明)先证。∵，∴，使，∴，。∴。再证，即是单位元。，已证，∴。∴。即就是单位元e。再由得到就是。这说明：中有单位元，都有逆元。∴是一个群。P38§21.若群的每一个元都适

2、合方程，那么是可交换的。证∵。∴∴。∴，即是可换群。2．在一个有限群中阶大于2的元的个数一定是偶数。证令是有限群中一个阶的元，∵互逆元是同阶的，∴的阶也大于2，且(若)。7设中还有阶的元，且，∴的阶也大于2，且。我们还可以得出，。这是因为若，矛盾；若，矛盾。所以在有限群中，阶的元成对出现，因此命题成立。3.假定是一个阶是偶数的有限群，在中阶等于2的元的个数一定是奇数。证由上题知阶的元的个数是偶数。∵是偶数，∴阶的元也必是偶数。但阶是1的元只有单位元，∴阶等于2的元的个数为奇数。4.在有限群中,每一元素具有一有限阶。证，，根据鸽巢

3、原理，这个幂至少有两个相同。不妨设，那么。所以命题成立。P44§41.假定两个群与的一个同态之下，，那么的阶是否相同？解不一定。取，运算为，显然是一个群。取整数加群。建立，其中。显然是的同态。的单位元0是一阶元，它的象是一阶元，的除0外的其他元都是无穷阶元，它们的象也是一阶元。思考：若假定两个群与的一个同构之下，，那么的阶是否相同？解肯定相同。①若，即，∵是同构，∴，∴的阶也是有限，记，∴。7又∵是到的一个同构，且，∴，∴。∴。②，下证。反证，若，∵是到的一个同构，且，∴，即的阶不超过m，矛盾。P50§51.假设是集合A的一个非

4、一一变换。会不会有一个左逆元，使？(是A上恒等变换：)解可能有。若合成是右合成，，例子如下：取A=N(自然数集)，是A上一个满射变换，但0的原象有两个：0和1，即不是一一变换。也是A上一个变换(也不是一一变换，0没有原象)，且，∴，∴，∴。若合成是左合成，例子如下：取A=N(自然数集)，是A上一个单射变换，但0没有原象，即不是一一变换。也是A上一个变换(非单)，且，∴，∴，∴。2.假定A是所有实数作成的集合。证明，所有A的可以写成形式的变换作成一个变换群，这个群是不是交换群？证。作集合，本题就是证明是一个变换群。满足群的定义条件

5、:①我们有:7∵,∴,即合成满足封闭性。②映射的合成都满足结合律。∴中的元也满足结合律。③显然是的恒等变换,它是的单位元。④，∵，∴。且，∴。∴是一个变换群。取和,那么，，∴。这表明：此变换群是非交换群。3．假定S是一个集合A上的所有变换构成的集合。我们暂时仍用旧符号，来说明一个变换。我们用来规定一个S上的乘法，这个乘法也适合结合律，并且对这个乘法来说还是S的单位元素。证∵。∴这种运算满足结合律。∵。∴是S的单位元素。4．一个变换群的单位元一定是恒等变换。证右合成证明如下：设G是某集合A的变换构成的变换群，e是G的单位元，即。对

6、，∵，∴。∵是一一变换，∴能取遍A中的所有元素。∴。∴e是A上的恒等变换。左合成如下证明如下：设G是某集合A的变换构成的变换群，e是G的单位元，即。7对，∵，∴。∵是一一变换，∴能取遍A中的所有元素。∴。∴e是A上的恒等变换。5．证明实数域上一切可逆的n阶矩阵对于矩阵乘法来说，作成一个群。证记G是一切可逆的n阶实矩阵的集合。①，即矩阵乘法在G上是封闭的。②矩阵乘法满足结合律，当然在G上满足结合律。③n阶单位阵，且对，∴n阶单位阵是幺元。④，，使，∴A的逆矩阵就是A逆元。∴G是一个群。P55§61．找出中的不能与交换的元。解中共6

7、个元：，，，，，。其中恒等置换、、显然能与交换。通过验证其余三个：、、都不能与交换。明示：给出群的一个元，要找与可交换的元。因为结合律满足，首先要知道与可交换的元至少有，其中包括，，。对于不是的元，一般要通过验证。2．把的所有元写成不相连的循环置换的乘积。解：，，，，，。3．证明(ⅰ)两个不相连的循环置换可以交换。7(ⅱ)。证(ⅰ)设s和t是中任意两个不相连的置换(没有共同元)。分三种情况加以讨论：①数字在s中出现，且。∵s和t不相连，∴和不在t中出现，即，。∴，。∴。②数字在t中出现，且。∵s和t不相连，∴和不在s中出现，即，

8、。∴，。∴。③数字在s和t中都不出现，这时有，。∴，。∴。这样得到，从而有。(ⅱ)∵，∴。1．证明一个k循环置换的阶是k。证设是上的一个k循环置换。，，…,,。同理得，当。且当。∴且。∴k循环置换的阶是k。5．证明中任何一个元都可以写成这个2-循环置换中的若干个