数值分析第七章线性代数方程组的迭代法课件

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1、第七章线性方程组的迭代解法问题驱动：绗架设计绗架是能够承受重负载的轻量结构，在桥梁设计中，一个个绗架和可旋转的支点连接起来，可以把力通过该绗架从一个节点传到另一个节点。如图7.1.1所示给出了一个4个支点的绗架，①，②，③和④都是支点。在左下角①是一个固定的点，绗架在右下角点④可以水平移动量值。在支点③施加10000N的力，绗架的受力情况如图所示由和给出。固定支点同时受到水平方向的力和垂直方向的力的作用，但移动支点只受到垂直方向的力的作用。图7.1.1绗架的受力分析图如果整个绗架处以平衡状态，每个支点的合力应为零向量，因此每个支点上力的水平分量和垂直分量之和都应该为零。由此可得到

2、一个如表7.1.1所示的线性方程组，该方程组中的系数矩阵中含有46个零元素，而仅有18个非零元素，通常把含有大量零元素的矩阵称为稀疏矩阵，由于使用直接法求解这类方程组，会破坏系数矩阵的稀疏性，这种情况下一般采用迭代法求解方程组。表7.1.1支点水平分量垂直分量①②③④迭代法基础问题在实际应用中遇到的系数矩阵多为大型稀疏矩阵，如用求解线性方程组的直接法求解，在计算机上会耗费大量的时间和存储单元。在许多应用问题中使用迭代法。思路将改写为等价形式，建立迭代　。从初值出发，得到序列。研究内容：如何建立迭代格式？收敛速度？向量序列的收敛条件？误差估计？一般迭代法迭代格式的构造把

3、矩阵A分裂为则将上式写为迭代过程这种迭代过程称为逐次逼近法，B称为迭代矩阵。收敛性定义：若称逐次逼近法收敛，否则，称逐次逼近法不收敛或发散。给定初值就得到向量序列问题：定理1任意给定初始向量x0，如果由逐次逼近法产生的向量序列收敛于向量x*，那么，x*是方程组x=Bx+g的解。证明：是否为方程组Ax=b的解？迭代法的收敛条件定理当k时，Bk0(B)<1定理2设线性方程组x=Bx+g有惟一解，那么逐次逼近法对任意初始向量X０收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(B)<1。证明：因此，注：要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难，所以我们希望用别的办法判断收敛性。定理3若

4、逐次逼近法的迭代矩阵满足‖B‖<1，那么逐次逼近法收敛。Remark:因为矩阵范数都可以直接用矩阵的元素计算，因此,用定理3，很容易判别逐次逼近法的收敛性。定理4（充分条件）若存在一个矩阵范数使得

5、

6、B

7、

8、<1,则迭代收敛，且有下列误差估计：②①证明：②迭代法的误差估计误差表达式及收敛速度。停机准则。①（4.1）1．雅克比（Jacobi）迭代法设有n阶方程组几种常用的迭代格式若系数矩阵非奇异，且(i=1,2,…,n)，将方程组（4.1）改写成然后写成迭代格式（4.2）（4.2）式也可以简单地写为（4.3）写成矩阵形式：A=LUDBJacobi迭代阵(4.4)Algorithm:J

9、acobiIterativeMethodSolve.Givenaninitialapproximation.Input:thenumberofequationsandunknownsn;thematrixentriesa[][];theentriesb[];theinitialapproximationX0[];toleranceTOL;maximumnumberofiterationsMmax.Output:approximatesolutionX[]oramessageoffailure.Step1Setk=1;Step2While(kMmax)dosteps3-6Step

10、3Fori=1,…,nSet;/*computexk*/Step4IfthenOutput(X[]);STOP;/*successful*/Step5Fori=1,…,nSetX0[]=X[];/*updateX0*/Step6Setk++;Step7Output(Maximumnumberofiterationsexceeded);STOP./*unsuccessful*/Whatifaii=0?迭代过程中，A的元素不改变，故可以事先调整好A使得aii0，否则A不可逆。必须等X(k)完全计算好了才能计算X(k+1)，因此需要两组向量存储。Abitwasteful,isn’ti

11、t?…………只存一组向量即可。写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵2．高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法(4.5)(4.6)BG-SGauss-Seidel迭代阵其迭代格式的矩阵形式为事实上，这相当于对系数矩阵A作的另一个分裂：定理5n阶矩阵A是按行严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵满足‖BJ‖∞<1.定理6n阶矩阵A是按列严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵满足‖BJ‖1<1.相关性质Jacobi迭代法和