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《2017-2018学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法学案（含解析）新》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、二综合法与分析法1.综合法⑴定义从己知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.(2)证明的框图表示用P表示已知条件或已有的不等式，用0表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为2.分析法(1)定义证明命题时，从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.分析法又叫逆推法或执果索因法.(2)证明过程的框图表示用"表示要证明的不等式，则分析
2、法可用框图表示为芦]一座因一匠百一…一得到一个明显成立的条件„用综合法证明不等式已知QO,y>0,且x+y=1,求证：(1+£・可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x+y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式.法一：V%>0,y>0,1=x+y事2y[xy.i+-Yi+-i=i+-+-+—xyxy=1+乂乜+丄=1+—&1+8=9.xyxyxy当且仅当x=y=时，等号成立.(y,x=5+2t+7j25+2X2=9.当且仅当时，等号成立.[方法・规律•小结]综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与
3、求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择己知不等式，这是证明的关键.在不等式①的两边同时加上“/+/+;”，得3(/+孑+c)三(日+b+c)2f即a~+1)+c^^{a+b+c)2.③在不等式②的两端同时加上2(日〃+比+少)，得(日+力+q)2$3{ab+bc+c(i),B
4、J~(c?+b+c)2ab+bc+ca.④由③④，得+c(a+b+c)2>ab+bc+ca.用分析法证明不等式己知x>0,y>0,求证：('+#)*>(/+/)*不等式两边是根式，可等价变形后再证明.分析每一步成立的充分条件.要证明(x+/)
5、>(/+y
6、)
7、,只需证(/+/)3>(/+/)2,即证/+3%y+3xy+y>%+2xy+y即证y+3xy>2xy.•・*>0,y>0,Ax/>0.即证3/+3y>2xy.V3x+3y>x+y^2xy>.*.3/+3y>2%y成立.•I(%+y)^>(7+y)^.［方法・规律・小结］(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径.(2)分析法证明的关键是推理的侮一步都必须可逆.〃〃〃氐値g^//////1.求证：萌+⑴〈2旃.证明：分析法：•・•羽+⑴〉0,2&>0,・・・要证£+5<2季,
8、只需证明(萌+〒)2<(2^5)2.展开，得10+2回〈20.即证2曲〈10,即证21＜25（显然成立）.・・・£+你2伍1.已知自，且2c＞自+方.求证：c—y]c—c—ab.证明：要证c~yjc—aK水c+yjc~ab,只需证—y]c—ab＜a—c＜^]c—ab,即证
9、a~c＜^c~ab,两边平方，得a'~2ac+c＜c—ab,也即证a&K2ac,即白（白+b）〈2&c.Va,bWR+,且臼+ZK2c,：.a{a+l））＜2ac显然成立.・••原不等式成立.综合法与分析法的综合应用设臼＞0,〃＞0,且a+b=,求证：寸臼+1+寸Z?+1W托.所证
10、不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明.要证寸日+1+y/力+1W&,只需证（寸臼+1+p方+1）'W6,即证（仪+方）+2+2寸臼方+臼+方+1W6.3]由&+方=1,得只需证寸"+2苍,即证ab^.~.由臼＞0,〃＞o,臼+〃=1,得曰力w即臼方今成立.・••原不等式成立.[方法・规律•小结]（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明.（2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分
11、表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系./〃〃/題值集利'〃〃/2.己知a,b,c都是正数,求证:(a+b忖—证明：法一：要证2$尹一V砂W3吐严只需证移项，得c+2寸忑23引abc.由曰，b,c为正数，得c+2y[ab=c+y[ab+y[ab^3＜曰力成立.・••原不等式成立.法二：Va.b,q是正数，c+y[ab+y[ab^3ylc[ab•y[ab=3ylcibc.己知目＞0,b〉0,/7EN求证:6.尹+严a+bn证明：先证今二字只要证23沖+3（日+6）3+小,即要证尹、+肘
12、一臼7—显20,即要证（臼一勿3—仍3
13、0.若$2b,则臼一Z?M0,白"一方"20,所以（白一方）M0；若&〈b,则Z
