§2—3 单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义

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1、第6讲§2—3单位元、逆元、消去律及有限群的另一定义（1课时）(Identityinversescancellationlawandanotherdefinitionoffinitegroup)教学目的和要求：消去律是群这个代数体系所固有的代数特征，根据这个特征我们可以对有限群做出新的定义。本讲要求学生能理解消去律的意义和有限群的新定义。本讲的重点和难点：有限群的另一定义的证明本身并不长，但要吃透证明过程中的每一步骤，并非易事，要求同学能弄通这一定理的证明过程。注意：本讲教材中的有些内容，已在前讲中讨论过了（譬如：单位元、逆元等概念），所以在本讲中，对有些内容只需一带而

2、过。一、复习本节中的许多概念在上节里都已出现，这里只稍微地提一下。（1）单位元任一个群中都在唯一的单位元具有性质：注：如果是加法群时，中的单位元换叫做“零元”，记为“0”（2）逆元群中任一个元素，都在中有唯一的逆元，具有性质：.注：如果是加法群时，的逆元改叫做“负元”，并记为“”.（3）群元素的指数律和倍数律（略）（4）模剩余类加群.课后思考题：模剩余类集合对于给定的“加法”确实能构成一个加法群。那么对于整数的乘法是否也能成群？譬如规定：？为此，可做如下讨论.（1）如果成为群，那么单位元就只能是——这一点凭直觉就能察觉出。那么会充当什么角色？有逆元吗？（回答是否定的）（

3、2）既然不能成群（都是惹的祸）那么令.这样一来，就能成群吗？仔细观察会发现新问题：当时，，而这表明对运算不封闭，故也成不了群.（3）试问:有可能成为群吗?对有什么要求?结论1：当—素数时，必是一个群.证明：（中元素对乘法是封闭的），则不整除，不整除.由于是素数，由素数的性质知不能整除（）。由等价类的定义（），这表明。（结合律成立），我们有.（存在单位元）是的单位元.（每个元都有逆元），由于是一个素数结论2：设是一个monoid，令，实证是一个群.证明：因为是可逆的，所以中有单位元，其次，那么分别是它们的逆元，即，于是，这表明：有逆元，.由于，故自然满足结合律，所以是群.

4、注：从上述讨论中自然知道：若是群的单位元，若可逆也可逆且.二、元素的阶前一讲里，我们已介绍了群的阶：中所含元素的个数.下面利用单位元，能引入另一个新概念:定义1：设为群，而.如果有整数，使，那么使这个等式成立的最小正整数叫做的阶，记为.如果这样的不存在，则称的阶是无限的，记为=+∞.（省略）例1乘法群中，是单位元，显然，而同理知.例2加法群中，是单位元，例3加法群中，0是单位元.，而其它元素=+∞.例4乘法群中，1是单位元，，而其它元素的阶都是无限.注：加法群中，元素的阶的定义自然需做相应的变化：设，能够使的最小正整数叫做的阶，若这样的不存在，则称的阶是无限的，的阶仍记

5、为.例5设是由的三个复根组成的集合，而中的代数运算“”是通常的乘法，那么必为一个乘法群.其中习惯上记为，叫做3次单位根群。这里.事实上（1）.（2）结合律显然成立（因为复数集中满足结合律）.（3）是中的单位元.（4）的逆元是，与互为逆元.不仅如此，我们还知：.定理1：每一个群都适合消去律：证明：设且有，那么用的逆元左乘上等式两端：成立，同理知也成立。（注：叫做左消去律，叫做右消去律）三、有限群的另一定义1.问题的提出：若是群，则必满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律。但如果代数体系能满足（1）（2）和（3），是否可断定就是群呢？先看下面的例子：代数体系显然满足（1）

6、封闭性（2）结合律（3）消去律，但不是群（因为除了和外，其他元素都没有逆元）.上例所以不能成为群，关键是为无限集，如果是有限集，那情形就不一样了。定理2：设是一个有限集，若满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律，那么一定是一个群.证明：（只需证明方程和在中有解）先证在中有解，.因为是有限集，不妨设，即，现用左乘中的每个元素，得到.由（1）中每个，所以又由于（3）只要，则中也含有个元素，于是又由于，即使的解.同理可以证明有解.思考题及课后训练：一、若=+∞，即使能满足封闭性、结合律和消去律，则也不可能成为群，这种说法对吗？二、设是个有限半群，那么为群中有消去律成立.三、

7、设是群，那么（1），若存在，使（可知的阶是有限的）（2）证明：（1）由于，这本身说明+∞，令，若，则与元素的阶的定义矛盾，故知.（2）若，那么，另外，由（1）知，若，于是有，且，即.注：在（2）的证明中，用到“”.四、设为群，那么（1）.（2）.证明：（1）（2）由数学归纳法可证。五、ForeachofthefollowingrulesinagroupG,telluswhichisright.(1)If,then;(2)If,then;(3)(4)If,then;(5)If,then.六、LetandbeelementsofagroupG