高等数学论文__空间解析几何

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1、高等数学论文之空间解析几何姓名：许奎学号：学院：环城院专业：采矿工程班级：02指导教师：柳翠华第一节空间直角坐标系一、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示图7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点的距离图3．空间

2、点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。C）空间两点间的距离。若、为空间任意两点，则的距离特殊地：若两点分别为，第二节向量及其运算一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2．量的表示方法有:、、、等等。3．向量相等：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移

3、后能完全重合的向量）。4．量的模：向量的大小，记为、。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5．量平行：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为二、向量的运算1．加减法：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－42．即3．向量与数的乘法：设是一个数，向量与的乘积规定为时，与同向，时，时，与反向，其满足的运算规律有：结合率、分配率。设表示与非零向量同方向的单位向量，那么定

4、理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝第三节向量的坐标一、向量在轴上的投影1．几个概念(1)轴上有向线段的值：设有一轴，是轴上的有向线段，如果数满足，且当与轴同向时是正的，当与轴反向时是负的，那么数叫做轴上有向线段的值，记做AB，即。设e是与轴同方向的单位向量，则(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量和b，任取空间一点O，作，，规定不超过的称为向量和b的夹角，记为(4)空间一点A在轴上的投影：通过点A作轴的

5、垂直平面，该平面与轴的交点叫做点A在轴上的投影。(5)向量在轴上的投影：设已知向量的起点A和终点B在轴上的投影分别为点和，那么轴上的有向线段的值叫做向量在轴上的投影，记做。2．投影定理性质1：向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系

6、，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=是以为起点、为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：i+j+k或a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为终点为的向量可以表示为特别地，点对于

7、原点O的向径注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2．向量运算的坐标表示设，即，则(1)加法：◆减法：◆乘数：◆平行：若a≠0时，向量相当于，即也相当于向量的对应坐标成比例即三、向量的模与方向余弦的坐标表示式设，可以用它与三个坐标轴的夹角（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式称为方向余弦。1．模2．方向余弦由性质1知，当时，有◆任意

8、向量的方向余弦有性质：◆与非零向量a同方向的单位向量为：第四节数量积向量积一、数量积：a)定义：，式中为向量a与b的夹角。b)物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为其中为F与s的夹角。c)性质：Ⅰ.Ⅱ.两个非零向量a与b垂直的充分必要条件为：Ⅲ.Ⅳ.Ⅴ.为数d)几个等价公式：Ⅰ.坐标表示式：设，则Ⅱ.投影表示式：Ⅲ.两向量夹角可以由式求解二、向量积：a)概