2008年高考试题——数学江苏卷有解析

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2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1.的最小正周期为，其中，则▲。【解析】本小题考查三角函数的周期公式。。答案102.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为▲。【解析】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。答案3.表示为，则=▲。【解析】本小题考查复数的除法运算，，因此=1。答案14.则的元素个数为▲。【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得因为，所以，因此，元素的个数为0。答案05.的夹角为，，则▲。【解析】本小题考查向量的线形运算。因为，所以=49。因此7。答案76.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为▲。【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。 答案7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（）频数（人数）频率（）1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是▲。【解析】本小题考查统计与算法知识。答案6.428.直线是曲线的一条切线，则实数▲。【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。答案9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：▲。【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。 答案。10.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为▲。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。答案11.的最小值为▲。【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。答案3。12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=　▲　　。【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。答案 13.若，则的最大值▲。【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。答案14.对于总有成立，则=　▲。【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。要使恒成立，只要在上恒成立。当时，，所以，不符合题意，舍去。当时，即单调递减，，舍去。当时①若时在和上单调递增，在上单调递减。所以②当时在上单调递减，，不符合题意，舍去。综上可知a=4. 答案4。15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。（1）求的值；（2）求的值。【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得，为锐角，故。同理可得，因此。（1）。（2），，从而。16．在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线；（II）。证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点。 （II）又，所以17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km,,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。（I）按下列要求写出函数关系式：①设，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式。（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题考查函数最值的应用。（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则故，又，所以。②，则，所以，所以所求的函数关系式为。（II）选择函数模型①。。令得，又，所以。当时，，是的减函数；时，，是的增函数。所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。 18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。（1）求实数的取值范围；（2）求圆的方程；（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。（1）（1）设所求圆的方程为。令得又时，从而。所以圆的方程为。（3）整理为，过曲线与的交点，即过定点与。19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当时，求的数值；②求的所有可能值；（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。（I）①当时，中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。若删去，则有，即，化简得；若删去，则有，即，化简得。综上可知。②当时，中同样不可能删去首项或末项。 若删去，则有，即，化简得；若删去，则有，即，化简得，舍去；若删去，则有，即，化简得。当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。（1）略20.若为常数，且(I)求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；(II)设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。（I）恒成立若，则，显然成立；若，记当时，，所以，故只需；当时，，所以，故只需。 （II）如果，则的图象关于直线对称，因为，所以区间关于直线对称。因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。如果，结论的直观性很强。