03数字信号处理_吴镇扬_习题解答

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1、数字信号处理习题第一章1-4今对三个正弦信号xaa12()tt==cos2π,x(t)−cos6ππt,xa3()t=cos10t进行理想采样,采样频率为Ω=s8π,求着三个采样输出序列,比较其结果.画出xaa12()tx,(tx),a3(t)的波形及采样点位置并解释频谱混迭现象.8π8π8π解答:由于w1=<2π,没有混迭;w2=>6π,混迭;w3=10π>,混迭.2221-13下列系统中,yn()表示输出,x(n)表示输入,试确定是否是线性系统?是否是时不变系统?n(1)yn()=2x(n)+5(3)yn()=∑x(m)m=−∞解答:(1)T[ax(n)+=bx(n)]2[ax(n)

2、+bx(n)]+51212=+ax[2()n5]+b[2x()n+5]−5a−5b+512所以，非线性;=+aT[x(n)]bT[x(n)]−5a−5b+5≠aT[x()n]+bT[x()n]1212假设输入为x()nn−0,则有T[(xnn−=00)]2x(n−n)+5=y(nn−0)所以，时不变.n(2)Ta[x12(n)+=bx(n)]∑[ax1(m)+bx2(m)]m=−∞nn所以，线性;=+ax∑∑12()mbx()m=ay1(n)+by2(n)mm=−∞=−∞nnn−0T[(xnn−=00)]∑∑x(m−n)=x(m)=y(nn−0)时不变.mm=−∞=−∞1-16确定下列系

3、统的因果性和稳定性:(1)y(n)=gn()()xn,gn()有界n(2)yn()=>∑x(k),nn0kn=0n(4)hn()=0.5u(n)解答:1（1）不能用令x(n)=δ(n)来求h(n)，然后确定稳定性，因为该系统并非线性时不变系统。实际上，因g(n)有界，所以，当x(n)有界时，y(n)=x(n)g(n)<=

4、x(n)

5、

6、g(n)

7、<∞,所以系统稳定，y(n)只与x(n)的当前值有关，显然是因果的。（2）y(n)只与x(n)的当前值和过去值有关，是因果的。当n→∞时，即使x(n)有界，可能y(n)→∞，（如x(n)=1）(4)∵nh<=0时,(n)0,∴是因果系统;∞∞∞nn

8、1又∵∑∑

9、(hn)

10、==

11、0.5u(n)

12、∑

13、0.5

14、==2nn=−∞=−∞n=010−.5∴是稳定的.jwjw1-6x(n)和Xe()表示一个序列及其傅氏变换,并且xn()为实因果序列,利用X(e)求下列各序列的傅氏变换:(3)gn()=x(2n)⎧n⎪xn(),为偶数(4)gn()=⎨2⎪⎩0,n为奇数解答:∞∞jw−−jwnjwn(3)Ge()==∑∑g(n)ex(2n)e,令t=2nnn=−∞=−∞∞∞tt∞t11tt−−jwjw1−jw=+∑∑[xt()(−1)xt()]e22=x(t)e+∑(−1)xt()e222tt=−∞=−∞2t=−∞∞∞twww11−−jwj()−π

15、πt1j1j()−=+∑∑x()te22x()te=Xe(2)+Xe(2)22tt=−∞=−∞22注意：当t为偶数时[.]=2x(2n)，当t为奇数时[.]=0∞∞jw−−jwnnjwn(4)Ge()==∑∑g(n)ex()e令n=2mnn=−∞=−∞2∞−jw22mjwm==∑xm()eX(e)m=−∞1-10求以下函数的逆z变换:1(1)−−11(1−−zz)(12)解答:21(1)−−11(1−−zz)(12)−12=+见书本P13页的例3−−1111−−zz2n+1=-u(n)-2un(1−−)注意，因收敛域为1<

16、z

17、<2，而如果第二项是右边序列的话，收敛域必然要

18、z

19、>2,所

20、以对第二项，只能是左边序列，其收敛域为

21、z

22、<2，同样道理，对第一项，如果是右边序列，则收敛域为

23、z

24、>1，正好与题意吻合，如果是左边序列，则收敛域为

25、z

26、<1，不符合题意。−jw1-21试证xn()−的频谱为Xe().解答:∞∞'−−jwn''j(−w)n−jw∑∑xn()−=e(令n−n)=x(n)e=X(e)nn=−∞=−∞−−111−az1-22讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统Hz()=−1,式中a为实数1−az(1)对于什么样的a值范围系统是稳定的?(2)如果0

27、度为一常数.解答:(1)极点z=a,∴≤

28、a

29、1,又∵a≠0,∴0<

30、a

31、≤1(2)收敛域为

32、z

33、>a,∴在半径为a的圆外;（3）通过z平面上作图，可以发现，极点a在单位圆内的实轴上，零点1/a在单位圆外的实轴上，它们各自到单位圆上任一点的矢量长度可由余弦定理求取，分别为2极点矢量长度=a+1−2acos(ω)-2-112零点矢量长度=a+1−2acos(ω)=a+1−2acos(ω)a图解求系统频率响应就是求零点矢量长度与极点矢量