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1、..第十三章积分变换法MethodofIntegralTransforms.....齐海涛htqi2008@gmail.com2010-4-30齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-301/27目录..1.Fourier变换法.2.Laplace变换法.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-302/27学习要求..1.掌握用积分变换法求解数学物理方程的主要精神;..2.掌握用积分变换法求解数学物理方程的一般步骤.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-303/27..1.Fourier变换法.2.Laplace变换法.齐海涛(山东大学威海分校
2、)数学物理方法2010-4-304/27Fourier变换法.Example1.1...求解无限长弦的自由振动{u−a2u=0,(−∞3、t=0=φ(x),ut
4、t=0=ψ(x).....齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-304/27Fourier变换法.Example1.1...求解无限长弦的自由振动{u−a2u=0,(−∞5、t=0=φ(x),ut
6、t=0=ψ(x).....解:记∫1∞F[u(x,t),k]=u(x,t)e−ikxdx=U(k,t),2π−∞对空间变量x作Fourier变换,则原来的定解问题变换成U′′
7、+k2a2U=0,U
8、=(k),U′
9、=(k).t=0t=0这里(k),(k)分别是φ(x),ψ(x)的Fourier变换.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-304/27Fourier变换法上述ODE的通解为U(k,t)=A(k)eikat+B(k)e−ikat.由初始条件可得111111A(k)=(k)+(k),B(k)=(k)−(k).22aik22aik1ikat11ikat1−ikat11−ikat⇒U(k,t)=(k)e+(k)e+(k)e−(k)e.22aik22aik对U(k,t)作Fourier逆变换,应用延迟定理与积分定理,得D’Al
10、embert公式∫x+at11u(x,t)=ψ(ξ)dξ+[φ(x+at)+φ(x−at)].(1.1)2ax−at2∫(x)1F[f(x−x)]=e−iωx0F(ω),Ff(ξ)dξF(ω).0=iω齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-305/27Fourier变换法.Example1.2...求解无限长细杆的热传导问题{u−a2u=0,(−∞11、t=0=φ(x).....齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-306/27Fourier变换法.Example1.2...求解无限长细杆的热传导问题{u−a2u
12、=0,(−∞13、t=0=φ(x).....解:作Fourier变换,定解问题变换为U′+k2a2U=0,U
14、t=0=(k).此ODE的初值问题解为−k2a2tU(k,t)=(k)e.齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-306/27Fourier变换法再进行Fourier逆变换,∫∞−1−k2a2tikxu(x,t)=F[U(k,t)]=(k)eedk−∞∫[∫]∞∞1−ikξ−k2a2tikx=φ(ξ)edξeedk2π−∞−∞∫[∫]∞∞1−k2a2tik(x−ξ)=φ(ξ)eedkdξ2π−∞−∞∫[]∞21−(x−ξ)=φ(ξ)√e4a
15、2tdξ.−∞2aπt∫√∞−α2k2βkπβ2/4α2eedk=e−∞α√α=at,β=i(x−ξ).齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-307/27Fourier变换法.Example1.3...求解无限长细杆的有源热传导问题{u−a2u=f(x,t),(−∞16、t=0=0.....齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-308/27Fourier变换法.Example1.3...求解无限长细杆的有源热传导问题{u−a2u=f(x,t),(−∞17、t=0=0.....解:作Fourier变换,定解问题变换成非齐次O
18、DE与初始条件{U′+k2a2U=F(k,t),U
19、t=0=0.解此一阶非齐次ODE得∫t−k2a2tk2a2τU(k,t)=eF(k,τ)edτ0∫t∫∞1−ikξ−k2a2tk2a2τ=f(ξ,τ)eeedξdτ.2π0−∞齐海涛(山东大学威海分校)数学物理方法2010-4-308/27Fourier变换法进行Fourier逆变换得∫[∫∫]∞t∞1−k2a2(t−τ)−ikξikxu(x,t)=f(ξ,τ)eedξdτ·edk2π−∞0−∞∫∫[∫]t∞∞1−k
