关于含参二次函数在闭区间上最值问题的体会

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1、闭区间上关于含参二次函数在闭区间上的最值问题的体会二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系，特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题，要考察区间与对称轴的相对位置关系，分类讨论常成为解题的通法。例如：求在区间[t,t+1]上最大值和最小值。这是一个定轴动区间的例子。具体解法如下：二次函数的对称轴方程为，（1）当即时，；当即时，；当时，。（2）当时，；当时，。综上所述：，再如：求在区间[-1,2]上的最小值和最大值。这是一个定区间动轴的例子。具体解法如下：二次函数的对称轴方程为，（1）当即时，

2、；当即时，；当即时，。（2）当即时，；当即时，。综上所述：，。页脚观察前两题的解法，我们不难理解为什么要这样讨论，当然是数形结合，有由图像所得。但为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？什么时候分两种情况讨论，什么时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向下的，在闭区间上，它的最大值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最小值不可能

3、是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近即对称轴在区间中点的左、右分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。“二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到”。这个结论是解决这类问题的根本，我们在解决这类问题时，其实有意识或无意识都在利用这个结论。有时有意识的利用这个结论，可能会使某些复杂的问题更容易的解决。比如：已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两

4、大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为-2，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。综上，或总之，在解决二次函数在闭区间上的最值时，利用“二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到”这个结论，可以使我们的讨论方向更明确，思

5、路明了、过程简洁解法更简单洁。南洋中学页脚王轶群2007年7月页脚