关于二次函数在闭区间上的最值估计问题.doc

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1、关于二次函数在闭区间上的最值估计问题关于二次函数在上的最值问题，大家已经比较清楚，那么，在闭区间上的最值情况如何呢？本文通过讨论，将给出一个定性的估计命题1如果二次函数，，在上的最大值为，那么证明：（用反证法证明）假设结论不成立，即因为的对称轴为，⑴当，即时，在闭区间上为单调函数，则有，此与矛盾；⑵当，即时，在闭区间上为单调递减函数，在闭区间上为单调递增函数，则有，矛盾；综上述成立图（1）命题2如果二次函数，，在上的最大值为，且，那么证明：因为的对称轴为，⑴当，即时，在闭区间上为单调递增函数（如图（1）），则有图（2）或，此与无公共元素，所以无解；⑵当，即时，在闭区间上为单调递减

2、函数，在闭区间上为单调递增函数（如图（2）），则有或，此与无公共元素，所以无解；图（3）⑶当，即时，在闭区间上为单调递减函数，在闭区间上为单调递增函数（如图（3）），则有或，此与有公共元素0，所以，所以图（4）⑷当，即时，在闭区间上为单调递减函数（如图（4）），则有或，此与无公共元素，所以无解；综上述，成立推论1二次函数，在上的最大值为，那么证明：另，则从而有，的最大值就是的最大值由命题1知，＝推论2二次函数，在上的最大值为，且，那么证明：另，则从而有，的最大值就是的最大值由命题1知，＝，所以，由命题2知，，所以又因为，所以所以