参数思想与方法在解析几何中的应用

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1、参数思想及参数方法在解析几何中的应用当直接寻找变量x，y之间的关系显得很困难的时候，恰当地引入一个中间变量t（称之为参数），分别建立起变量x，y与参数t的直接关系，从而间接地知道了x与y之间的关系。这种数学思想即称之为“参数思想”。通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法即称之为“参数方法”。参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用。比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题，变量的范围及最值问题，定点和定值问题等等。运用参数方法的关键在于参数的选择，即如何引参（常见的引参方式有：①点参数；②斜率参数

2、；③截距参数；④距离参数；⑤比例参数；⑥角参数；⑦时间参数等。），然后通过必要的运算和推理，建立目标变量与参数的某种联系，最后又消去参数只保留目标变量而获解。解题时应注意参数范围的限定，以确保变形过程的等价性。一、知识概要1．一般曲线的参数方程（t为参数）x，y分别是参数t的函数。2．直线的参数方程设直线过定点P0（x0，y0），α为其倾斜角，P（x、y）是上任一点，P0P＝t（有向线段的数量），则直线的参数方程是，当P点在P0的上方（右方）时t>0；当P在P0的下方（左方）时t<0。如果把直线看成以P

3、0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t是点P的坐标。设P1，P2是直线上的两个点，分别对应t1，t2（即P0P＝t1，P0P＝t2），则线段P1P2的中点对应t中＝；线段P1P2的长度为

4、P1P2

5、＝

6、t1－t2

7、。3．圆的参数方程圆：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为：（α为参数，表θC的动半径的旋转角）4．椭圆的参数方程椭圆：b2(x－x0)2＋a2(y－y0)2＝a2b2的参数方程为：（θ为参数，表动点P（x，y）的离心角）5．双曲线的参数方程双曲线:b2(x－x0)2－a2(y

8、－y0)2＝a2b2的参数方程为：（θ为参数，表双曲线上动点P（x，y）的离心角）6．抛物线的参数方程抛物线:(y－y0)2＝2p(x－x0)的参数方程为：（t为参数，表动点P（x，y）与顶点连线斜率的倒数）8二、典型例题（一）轨迹问题例1（全国高中联赛）若动点P（x，y）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点θ（－2xy，y2－x2）的运动方程是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动解：将P（x，y）

9、表示成（ω>0，t为参数）又令θ的坐标为（u，v），则u＝－2xy＝－2cosωtsinωt＝－sin2ωt＝cos(－2ωt＋)，v＝y2－x2＝sin2ωt－cos2ωt＝－cos2ωt＝sin(－2ωt＋)，∴θ（u，v）的参数方程为，显然，ωt与－2ωt的旋转方向是相反的。而P（x，y）在单位圆上逆时针运动，∴θ（－2xy，y2－x2）以角速度2ω在单位圆上顺时针运动。选C。例2（2000年希望杯一试18题）过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y＝x2于A、B两点，则线段AB中点的轨迹方程是

10、。解：设：y＝kx，则：y＝（易知k应存在且不为0），联立：得A（k，k2），同理B。设AB中点为M（x，y），则消去k得y＝2x2＋1例3（全国高中联赛）设0

11、2＝x得t2sin2θ1＋t(2ysinθ1－cosθ1)＋(y－x0)＝0，由韦达定理得

12、t1

13、

14、t2

15、＝，由参数t的几何意义得

16、PA1

17、

18、PA2

19、＝。将②代入y2＝x，同理有

20、PB1

21、

22、PB2

23、＝.∵A1、A2、B1、B2四点共圆，由圆幂定理得，

24、PA1

25、

26、PA28

27、＝

28、PB1

29、

30、PB2

31、,∴sin2θ1＝sin2θ2,故θ1＝θ2或θ1＝π－θ2.若θ1＝θ2，则∥m，无交点，故舍去。若θ1＝π－θ2，故过定点A（a，0），B（b，0）的直线方程分别为：：y＝k(x－a)m：y＝－k(x－b),联

32、立解得直线的交点P（x0，y0）的坐标为：,∴交点P的轨迹为直线（除去与x轴的交点和与y2＝x的交点）方法二：设的方程为y－kx＋ka＝0，m的方程为：y－k′x＋k′b＝0，于是过，m与y2＝x的四个不同交点的二次曲线，应有方程：y2－x＋λ（y－kx＋ka）（y－k′x＋k′b）＝0,即：（1＋λ）y2－λ（k＋k′）xy＋λkk′x2＋λ（ka＋k′b）－[λkk′(a＋b)＋1]x＋λkk′ab＝0，它成为圆的充要条件是即：,∴这种