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时间:2018-09-24
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1、参数思想及参数方法在解析几何中的应用当直接寻找变量x,y之间的关系显得很困难的时候,恰当地引入一个中间变量t(称之为参数),分别建立起变量x,y与参数t的直接关系,从而间接地知道了x与y之间的关系。这种数学思想即称之为“参数思想”。通过引入参数、建立参数方程求解数学问题的方法即称之为“参数方法”。参数思想和参数方法在解析几何中有着广泛的应用。比如利用参数方程可以求动点的轨迹问题,变量的范围及最值问题,定点和定值问题等等。运用参数方法的关键在于参数的选择,即如何引参(常见的引参方式有:①点参数;②斜率参数;③截距参数;④距离参数;⑤比例参数;⑥角参数;⑦时间参数等。),
2、然后通过必要的运算和推理,建立目标变量与参数的某种联系,最后又消去参数只保留目标变量而获解。解题时应注意参数范围的限定,以确保变形过程的等价性。一、知识概要1.一般曲线的参数方程(t为参数)x,y分别是参数t的函数。2.直线的参数方程设直线过定点P0(x0,y0),α为其倾斜角,P(x、y)是上任一点,P0P=t(有向线段的数量),则直线的参数方程是,当P点在P0的上方(右方)时t>0;当P在P0的下方(左方)时t<0。如果把直线看成以P0为原点,向上或向右为正方向的数轴,则t是点P的坐标。设P1,P2是直线上的两个点,分别对应t1,t2(即P0P=t1,P0P=t2
3、),则线段P1P2的中点对应t中=;线段P1P2的长度为
4、P1P2
5、=
6、t1-t2
7、。3.圆的参数方程圆:(x-x0)2+(y-y0)2=r2的参数方程为:(α为参数,表θC的动半径的旋转角)4.椭圆的参数方程椭圆:b2(x-x0)2+a2(y-y0)2=a2b2的参数方程为:(θ为参数,表动点P(x,y)的离心角)5.双曲线的参数方程双曲线:b2(x-x0)2-a2(y-y0)2=a2b2的参数方程为:(θ为参数,表双曲线上动点P(x,y)的离心角)6.抛物线的参数方程抛物线:(y-y0)2=2p(x-x0)的参数方程为:(t为参数,表动点P(x,y)与顶点连线斜
8、率的倒数)8二、典型例题(一)轨迹问题例1(全国高中联赛)若动点P(x,y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动,则点θ(-2xy,y2-x2)的运动方程是A.以角速度ω在单位圆上顺时针运动B.以角速度ω在单位圆上逆时针运动C.以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D.以角速度2ω在单位圆上逆时针运动解:将P(x,y)表示成(ω>0,t为参数)又令θ的坐标为(u,v),则u=-2xy=-2cosωtsinωt=-sin2ωt=cos(-2ωt+),v=y2-x2=sin2ωt-cos2ωt=-cos2ωt=sin(-2ωt+),∴θ(u,v)的参数方程为,显然,ωt与-2ωt的
9、旋转方向是相反的。而P(x,y)在单位圆上逆时针运动,∴θ(-2xy,y2-x2)以角速度2ω在单位圆上顺时针运动。选C。例2(2000年希望杯一试18题)过原点作互相垂直的两条直线,分别交抛物线y=x2于A、B两点,则线段AB中点的轨迹方程是。解:设:y=kx,则:y=(易知k应存在且不为0),联立:得A(k,k2),同理B。设AB中点为M(x,y),则消去k得y=2x2+1例3(全国高中联赛)设010、参数法。在利用四点共圆条件时,应充分挖掘几何条件去转化,比如圆幂定理。设与m交于点P(x0,y0),它们与x轴的倾角分别为θ1,θ2,于是:,t为参数①m:t为参数②将①代入y2=x得t2sin2θ1+t(2ysinθ1-cosθ1)+(y-x0)=0,由韦达定理得11、t112、13、t214、=,由参数t的几何意义得15、PA116、17、PA218、=。将②代入y2=x,同理有19、PB120、21、PB222、=.∵A1、A2、B1、B2四点共圆,由圆幂定理得,23、PA124、25、PA2826、=27、PB128、29、PB230、,∴sin2θ1=sin2θ2,故θ1=θ2或θ1=π-θ2.若θ1=θ2,则∥m,无交点,故舍去。若31、θ1=π-θ2,故过定点A(a,0),B(b,0)的直线方程分别为::y=k(x-a)m:y=-k(x-b),联立解得直线的交点P(x0,y0)的坐标为:,∴交点P的轨迹为直线(除去与x轴的交点和与y2=x的交点)方法二:设的方程为y-kx+ka=0,m的方程为:y-k′x+k′b=0,于是过,m与y2=x的四个不同交点的二次曲线,应有方程:y2-x+λ(y-kx+ka)(y-k′x+k′b)=0,即:(1+λ)y2-λ(k+k′)xy+λkk′x2+λ(ka+k′b)-[λkk′(a+b)+1]x+λkk′ab=0,它成为圆的充要条件是即:,∴这种
10、参数法。在利用四点共圆条件时,应充分挖掘几何条件去转化,比如圆幂定理。设与m交于点P(x0,y0),它们与x轴的倾角分别为θ1,θ2,于是:,t为参数①m:t为参数②将①代入y2=x得t2sin2θ1+t(2ysinθ1-cosθ1)+(y-x0)=0,由韦达定理得
11、t1
12、
13、t2
14、=,由参数t的几何意义得
15、PA1
16、
17、PA2
18、=。将②代入y2=x,同理有
19、PB1
20、
21、PB2
22、=.∵A1、A2、B1、B2四点共圆,由圆幂定理得,
23、PA1
24、
25、PA28
26、=
27、PB1
28、
29、PB2
30、,∴sin2θ1=sin2θ2,故θ1=θ2或θ1=π-θ2.若θ1=θ2,则∥m,无交点,故舍去。若
31、θ1=π-θ2,故过定点A(a,0),B(b,0)的直线方程分别为::y=k(x-a)m:y=-k(x-b),联立解得直线的交点P(x0,y0)的坐标为:,∴交点P的轨迹为直线(除去与x轴的交点和与y2=x的交点)方法二:设的方程为y-kx+ka=0,m的方程为:y-k′x+k′b=0,于是过,m与y2=x的四个不同交点的二次曲线,应有方程:y2-x+λ(y-kx+ka)(y-k′x+k′b)=0,即:(1+λ)y2-λ(k+k′)xy+λkk′x2+λ(ka+k′b)-[λkk′(a+b)+1]x+λkk′ab=0,它成为圆的充要条件是即:,∴这种
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