揭开组合数的神秘面纱

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1、维普资讯http://www.cqvip.com高中数学教与学2006军揭开组合数的神秘面纱葛晓光(江苏省通州市兴仁中学，226371)排列组合是高中数学的重点内容，有着AA与AA的交点．反过来，任一个交点必与非常广泛的应用．其中有一类特殊的计数问某一个四边形对应，所以共有C：=70个．题，既无法用两个计数原理解决，也很难直接用排列的知识找到解答，它们有一个共同的A3A5特征，就是问题的答案可以用一个组合数来表示．这里面究竟有何奥妙呢?通过本文希望A．A。能给大家一个解答．一、数点问题——建立四边形模型图1在凸多边形中，我们常会遇到诸如求其变题1已知A，，

2、A，A，，⋯⋯，A，。为圆周有几条对角线，以及对角线在凸多边形内有上任意的10个分点，求这些点两两的连线在多少个交点的问题．对于这一类问题，学生们圆周内最多有几个交点?在解决时常有“老鼠衔鸭蛋——无从下手的变题2如图2所示，A，A，⋯⋯，A与曰，感觉．曰，，分别在／_AOB的两边与OB上，求例1在凸八边形中，(1)求它有几条对这些点的连线在／_AOB内最多有几个交点?角线?(2)这些对角线在凸八边形内最多有几个交点?分析(1)由题意，易得共有对角线c；一8=20条．(2)由第(1)问可知共有20条对角线．这些对角线中任意两条的位置关系可能平行，图2也可能不

3、平行．若其平行，则没有交点；若其评注此类问题的解决，关键在于找到不平行，则其所在直线的交点有三种可能：或满足题意的任意一点与一个四边形的一一对在凸八边形的外部，或在凸八边形的边上，或应关系，从而通过构造一个四边形模型，使问在凸八边形的内部．由于本题是求在凸八边题得以顺利解决．形内部最多有几个交点，所以此处不需考虑二、分配问题——设置隔板三条(或三条以上)对角线共点的情况．．即便在排列组合中，我们常常会遇到有关元如此，要弄清哪些组对角线的在凸八边形内素的分配问题，其中有一类问题是将相同的部有交点，也是十分烦琐的．元素分给不同的对象．要解决这些问题，我们不妨换

4、个角度去例2把10个相同的小球放人编号为1、思考：不要直接去数有多少个这样的点，而是2、3的3个盒子中，求：考虑每一个这样的点(如图1中的点)是如(1)每个盒子中至少有1个球的放法数?何确定的．点是四边形AAAA的对角线(2)所有可能的放法数?·44·维普资讯http://www.cqvip.com第8聊高中数学教与学(3)每个盒子中的球数不小于其编号的标3表示一次跨2级的步数)种不同的走法．放法数?‘(2)由第一问的分析易知，此人共有如下分析(1)此题相当于将10个相同的小6类走法：第一类，分10步走完，有co0种走法；球放成一排，然后在其空档中插入两块

5、不相第二类，分9步走完，有c种走法I．．⋯·；第六邻的板将其分成三部分，每部分都不空(即不类，分5步走完，有c；种走法．由分类计数原包括首尾2个空档)，一种隔法就对应着满足理，共有co0+c+c+c；+c：+C；=1+9题意的一种放法，则共有C：：36种放法．+28+35+15+1=89种走法．(2)类似于第(1)问，不同的是此时两块延伸上／7,级楼梯，每步可跨1级也可跨板可以相邻，也可以放在首末两位．即等价于2级，假设共有n种走法，下面我们来研究数将2块相同的板和10个相同的球放到一排12列{n}，易知IO,l=1，n2=co+C：=2，n3=个位置上，

6、2块板可放在其中的任意2个位置，c；+C=1+2=3，n=C：+c+C=1+则共有c22=66种放法．3+2=5，ns=C+C：+C=1+4+3=8，(3)(方法1)可先在2、3号盒子中分别放⋯⋯通过观察不难发现：该数列满足n=人1个、2个球，再将剩余7个小球分到3个盒n+Ⅱ(n≥3)，这与斐波那契数列(俗称子中，每个盒中至少一个球，类似于第(1)问，兔子数列)的递推公式有着惊人的相似．设斐有C：=15种放法．波那契数列为{b}，则n=b(／7,∈N)．事(方法2)可先在1、2、3号盒子中分别放实上，上／7,级楼梯的走法可分两类：第一类是人1、2、3个球，

7、再将所余4个球任意分到3个最后一步跨1级，有o种走法；第二类是最盒中，类似于第(2)问，有C：=15种放法．后一步跨2级，有n种走法，则易得变题1求方程+Y+=10有几组正nRnn一1+O,n一2·整数解?评注斐波那契数列是一个应用非常广变题2求方程+Y+=10有几组非泛的数列，近年来在计算数学、生物学、建筑负整数解?与园林设计、几何学等看似风马牛不相及的变题3已知≥1，Y≥2，z≥3，此时求领域，都发现了它的存在．斐波那契数列到底方程+Y+z=10有几组整数解?包含了大自然的多少奥秘，还有待于我们共三、楼梯问题——错位的斐波那契数列同去挖掘．在高中数学教

8、材的课外阅读中有这样的四、街道问题——另类杨辉三角一个问题：例4图