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1、第38卷第7期西南大学学报(自然科学版)2016年7月Vol.38No.7JournalofSouthwestUniversity(NaturalScienceEdition)Jul.2016DOI:10.13718/j.cnki.xdzk.2016.07.020具有交错扩散的三种群食物链模型整体解的存在性①闫莎陕西理工大学数学与计算机科学学院,陕西汉中723000摘要:应用能量估计方法和bootstrap技巧讨论了一类带有交错扩散的三种群食物链模型,当空间维数小于10时,证明了该模型整体解的存在性.关键词:食物链;交错扩散;梯度估计;整体解中图分类号:O175.26文献标志码:A文章编
2、号:16739868(2016)07012106考虑如下的具有交错扩散的三种群食物链模型du=Δ[(d1+α11u)u]+u(1-u-a1v)(x,t)∈QTdtdva2w=Δ[(d2+α21u+α22v)v]+v(a1u--g1-cv)(x,t)∈QTdt1+bvdwa2v(1)=Δ[(d3+α33w)w]+w(-g2)(x,t)∈QTdt1+bv∂u∂v∂w===0(x,t)∈ST∂η∂η∂ηu(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x)x∈Ω其中:u,v和w分别代表食饵、捕食者和最高级捕食者的密度;αii(i=1,2,3)是种群的自扩散系数,α21是种
3、群的交错扩散系数;u0(x),v0(x),w0(x)是不恒为零的非负函数;d1,d2,d3,a1,a2,g1,g2,b,c均为正常数,di(i=1,2,3)分别是种群u,v,w的扩散率,ai(i=1,2)分别代表捕食者v,w的转化率,gi(i=1,2)分别代表v,w的死亡率,b是种群w的消化系数,c代表种群v的密度制约系数;QT=Ω×(0,T),ST=n中具有光滑边界的有界区域;η是∂Ω的单位外法向.∂Ω×(0,T),Ω是R与模型(1)相关的常微分问题已在文献[1]中作了研究.文献[1]展示了一个宽泛的动力学性态,包括混沌动力学、交错极限环和长期瞬时性态.在文献[2]中,Abrams对模
4、型(1)的动力学性态作了进一步的研究.与模型(1)对应的反应扩散系统的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性在文献[3]中已被讨论.近年来,带有交错扩散的三种群互惠、捕食者-食饵模型解的整体性态在文献[4-6]中已被讨论.考虑到空间扩散与分离现象,本文主要讨论带有交错扩散的三种群食物链模型(1)的解的存在性.[7-9]问题(1)的局部解的存在唯一性是Amann系列论文的直接推论,根据他的结论可得:若非负函数1(Ω)且p>n,则(1)式有唯一非负解u,v,w∈C([0,T),W1(Ω))∩C∞((0,T),u0,v0,w0∈WpMpM①收稿日期:20150418基金项目:国家自然科学基金项目(11
5、061031);陕西理工学院校级科研项目(SLGKY1534).作者简介:闫莎(1983),女,陕西汉中人,讲师,主要从事生态数学研究.2西南大学学报(自然科学版)http://xbbjb.swu.edu.cn第38卷∞(Ω)),其中T(0,+∞]是解的最大存在时间.若进一步,解(u,v,w)满足CM∈sup{‖u(·,t)‖W1(Ω),‖v(·,t)‖W1(Ω),‖w(·,t)‖W1(Ω):t∈(0,TM)}<∞ppp则TM=+∞.本文主要结论如下:定理1假设u,v,w为满足齐次Neumann边界条件的非负函数C2+λ(Ω)(λ∈(0,0≥00≥00≥0λ2+λ,1+2(Ω×[0,∞)
6、).1)),则当空间维数n<10时,问题(1)有唯一非负整体解u,v,w∈C首先给出如下辅助结果.引理1设(u,v,w)是问题(1)的解,则存在正常数(l+1)2'
7、Ω
8、M1=max{‖u0+v0+w0‖L∞(Ω),}4l及M1=max{‖u0‖L∞(Ω),
9、Ω
10、},C1使得v,w≥00≤u≤M1(x,t)∈QT,‖w(·,t)‖',‖v‖,‖w‖‖v(·,t)‖L1(Ω)L1(Ω)≤M1L2(QT)L2(QT)≤C1证由极值原理易得v,w≥00≤u≤max{‖u0‖L∞(Ω),
11、Ω
12、}=M1对(1)式的第一个方程在Ω上积分,得(1+l)2d(u+v+w)dx≤-l∫(u+v+w)dx+
13、
14、Ω
15、dt∫ΩΩ4其中l=min{g1,g2}.因此(l+1)2
16、Ω
17、'‖v(·,t)‖L1(Ω),‖w(·,t)‖L1(Ω)≤max{‖u0+v0+w0‖L∞(Ω),}=M14l对(1)式的第二个方程在Ω上积分,得'
18、v
19、L2(QT)≤C1给(1)式的第三个方程两边同乘w,并在Ω上积分,得*
20、w
21、L2(QT)≤C1故存在正常数C1使得‖u‖L2(QT)‖v‖L2(QT)≤C1引理2设(u,v,w)是问题(1)的解,u1=(d1+α
