三角函数与平面向量的综合应用

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1、b三角函数与平面向量的综合应用【要点梳理】1．三角恒等变换(1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式．(2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系．(3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围．2．三角函数的性质(1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数．(2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asint，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的．3．解三角形

2、解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现．4．平面向量平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性．【自我检测】1．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．2．已知f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝______

3、__.3.如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，

4、φ

5、∈)图象的一部分，则f(x)的解析式为____________．4．(2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________.5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当·取得最小值时，tan∠DPA的bb值为________．【题型深度剖析】题型一　三角恒等变换例1　设<α<，sin＝，求的值．思维启迪：可以先将所求式子化简，寻求和已知条件的联系．探究提高　三角变

6、换的关键是寻求已知和所求式子间的联系，要先进行化简，角的转化是三角变换的“灵魂”．要注意角的范围对式子变形的影响．【训练1】已知cos＋sinα＝，则sin的值是(　　)A．－B.C．－D.题型二　三角函数的图象与性质例2　(2011·浙江)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)，x∈R，A>0,0<φ<，y＝f(x)的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(1，A)．(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；(2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝，求A的值．思维启迪：三角函数图象的确定，可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决．探究提高　本题

7、确定φ的值时，一定要考虑φ的范围；在三角形中利用余弦定理求A是本题的难点．【训练2】已知函数f(x)＝Asinωx＋Bcosωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．bb题型三　三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例3　已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．思维启迪

8、：(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．探究提高　(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．【训练3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lga－lgb＝lgcosB－lgcosA≠0.(1)判断△ABC的形状；(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值．【高考中的平面向量、三角函数客观题】典

9、例1：(5分)(2012·山东)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)A．2－B．0C．－1D．－1－考点分析　本题考查三角函数的性质，考查整体思想和数形结合思想．解题策略　根据整体思想，找出角x－的范围，再根据图象求函数的最值．解后反思　(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)可看作由函数y＝Asint和t＝ωx＋φ构成的复合函数．(2)复合函数的值域即为外层函数的值域，可以通过图象观察得到．bb典例2：(5分)(2012·天津)在△ABC中，∠A＝