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1、课题16三角函数与平面向量的综合应用二、基础回顾：⒈【答案】⒉【答案】⒊【答案】2⒋【答案】－2⒌【答案】≤α≤.三、典例精析题型一平面向量与三角函数的综合问题例1．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点．（1）若A、B两点的纵坐标分别为、，求的值；（2）已知点，求函数的值域．解：（1）根据三角函数的定义，得，．又是锐角，所以．由；因为是钝角，所以．所以．（2）由题意可知，，，所以，因为，所以，从而，因此函数的值域为．借题发挥：已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ
2、)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若
3、a
4、＝
5、b
6、,0<θ<π，求θ的值．解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.(2)由
7、a
8、＝
9、b
10、，知sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin＝－.又由0<θ<π，知<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝.因此θ＝或θ＝.题型二平面向量与解三角形的综合问题
11、例2.（1）【答案】（2）【答案】的最小值为．借题发挥：已知△ABC的内角A的大小为120°,面积为.(1)若AB=,求△ABC的另外两条边长；(2)设O为△ABC的外心,当BC=时,求·的值.(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,于是=bcsinA=bc,所以bc=4.因为c=AB=,所以b=AC=.由余弦定理得BC=a====.(2)由BC=,得b2+c2+4=21,即b2+-17=0,解得b=1或4.设BC的中点为D,则=+,因为O为△ABC的外心,所以·=0,于是·=·=(+
12、)·(-)=.所以当b=1时,c=4,·==-;当b=4时,c=1,·==.题型三三角向量的综合运用例3.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，G是△ABC的重心，且56sinA·＋40sinB·＋35sinC·＝0.(1)求∠B的大小；(2)设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k，1)(k>1)，m·n的最大值为5，求实数k的值．解：(1)由G是△ABC的重心，得＋＋＝0，所以＝－(＋)．由正弦定理，可将已知等式转化为56a·＋40b·＋35c·(－－)＝0.整理，得(56a－3
13、5c)·＋(40b－35c)·＝0.因为，不共线，所以由此，得a∶b∶c＝5∶7∶8.不妨设a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为0<∠B<π，所以∠B＝.(2)m·n＝4ksinA＋cos2A＝－2sin2A＋4ksinA＋1.由(1)得∠B＝，所以∠A＋∠C＝π，故得A∈.设sinA＝t∈(0，1]，则m·n＝－2t2＋4kt＋1，t∈(0，1]．令f(t)＝－2t2＋4kt＋1，则可知当t∈(0，1]，且k>1时，f(t)在(0，1]上为增函数，所以当t＝1时，m·n取得最大
14、值5.于是有－2＋4k＋1＝5，解得k＝，符合题意，所以k＝.借题发挥：已知向量，，函数.（1）求函数的单调递增区间．（2）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，且，求△ABC面积S的最大值．解：（1）的单调增区间为（2）S的最大值为.五、拓展延伸在中，满足：，是中点（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；（3）若点是边上的一点，且，，求的最小值.解析：（1）设向量与向量的夹角为，令，（2）设则，而所以当且仅当时的最小值是（3）设所以，，当且仅当时，.六、课外
15、练习⒈设锐角的三内角，，，向量=(sinA+cosA，－1)，，且，则角的大小为．【答案】【解析】因为，则，即,所，即，即,又因为是锐角，则，所以．⒉已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：设最小边为a，则其他两边分别为a，2a.由余弦定理，得最大角的余弦值为cosα＝＝－.3．设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若
16、2a+b
17、=
18、a-2b
19、,则β-α=. 4.在中，，，是边上的高，则的值等于 ．【答案】【
20、解析】因为，，是边上的高,.5．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且满足cos，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若c＝1，求a的值．解：(1)cosA＝2cos2－1＝2×－1＝.又A∈(0，π)，sinA＝＝，而·＝
21、
22、·
23、
24、·cosA＝bc＝3，所以bc＝5，所以△ABC的面积为bcsinA＝×5×＝2.(2)由(1)知bc＝5，而c＝1，所以b＝5，所以a＝＝＝2.⒍已知向量，且，其中A，B，C是ABC的内角，分别是角A
