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1、b导数的应用二——恒成立问题的解题策略一.典例分析提炼方法例1.若不等式,对任意的恒成立,求实数的取值范围。变式训练1.若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围。2.若不等式对任意的恒成立,求实数c的取值范围。3.若不等式对任意的恒成立,求实数的取值范围以及与满足的关系式。二.考题训练形成能力1.设函数(I)求的单凋区间:(Ⅱ)求所有实数,使,对恒成立。注;为自然对数的底数。2.设函数,若对所有的都有成立,求实数的取值范围.bb3.设函数对任意,恒成立,则实数m的取值范围是___________4.已知函数其
2、中(I)若在处取得极值,求的值.(Ⅱ)求的单凋区间.(Ⅲ)若的最小值为1.求的取值范围.三.反馈练习总结提升1.设,且曲线在处的切线与轴平行.(I)求的值,并讨论的单调性:(II)证明:对,不等式恒成立。2.设函数,其中为实数.(I)已知函数,在处取得极值,求的值:(Ⅱ)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.3.已知函数(I)当时,讨论的单调性(II)设.当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.bb4.已知函数(I)讨论函数的单调性:(II)设,证明:对任意,5.设函数(I)求函数的单调区间;(II)已
3、知,对任意成立,求实数的取值范围。6.已知在区间[-1,1]上是增函数。(I)求实数的值组成的集合A:(II)设关于的方程,的两个非零实根为,试问:是否存在实数m。使得不等式对任意的及恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.bb参考答案一.典例分析提炼方法例1.(分离参数),因为,所以的最大值为1所以变式l、或或解得:或变式2、,,当时.为极大值.而,则为最大值,要使恒成立,只需,解得或变式3、,二.考题训练形成能力1、(I)解:因为,其中所以由于,所以的增区间为,减区间为(Ⅱ)证明:由题意得,
4、即由(I)知在[1,e]内单调递增.要使,对恒成立,只要解得2、令对函数求导数:令解得……5分(i)当时,对所有,,所以在[0,+∞)上是增函数,bb又,所以对,都有即当时,对于所有,都有……9分(ii)当时,对于,所以在是减函数又所以对,都有即当时,不是对所有的,都有成立综上,的取值范围是:(-∞,1]……12分3、由题意知在上恒成立,在上恒成立,当时,函数取得最小值,所以,即解得或4、解(I)在x=1处取得极值,,即,解得(II),①当时,在区间(0,+∞)上,,的单调增区间为(0,+∞).②当时,由解得
5、.由,解得的单调减区间为,单调增区间为(Ⅲ)、当时,由(Ⅱ)①知.的最小值为bb当时,由(Ⅱ)②知,在处取得最小值综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是[2,+∞).三、课后练习l、解:(I).有条件知,故,于是故当时,,当时,从而在(-∞,-2),(1,+∞)单调减少,在(-2,1)单调增加.(II)由(I)知在[0,1]单调增加,故在[0,l]的最大值为最小值为,从而对任意有而当时,,从而2、解(1)由于函数在时取得极值,所以,即(2)由题设知:对任意都成立,即对任意都成立设,则对任意为单调递增函数所
6、以对任意,恒成立的充分必要条件是,即,于是的取值范围是3、解:(I)因为所以令(1)当时,bb所以,当时,此时,,函数单调递减当时,,此时,,函数单调递增.(2)当时,由,即,解得①当时,恒成立,此时,函数在(0,+∞)上递减②当时,,时,,此时,函数单调递减;时,,此时,函数单调递增;时,,此时,函数单调递减:③当时,由于,,,此时,函数单调递减;时,,此时,函数单调递增.综上所述:当时,函数在(0,1)上单调调递减;函数在(1,+∞上单调递增;当时,函数在(0,+∞)上单调递减,当时,函数在(0,1)上单
7、调递减;函数在上单调递增;函数在上单调递减.(II)因为,由(I)知,,,当时,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以在(0,2)上的最小值为由于“对任意,存在,使"等价于在[1,2]上的最小值不大于在(0,2)上的最小值”(*)bb又,所以①当b8、①或或∵对是连续函数,且只有当时,以及当时,bb(Ⅱ)由,得,是方程的两非零实根从而,要使不等式对任意及恒成立,当且仅当对任意恒成立即,对任意恒成立.②设方法一:②,或所以,存在实数使不等式对任意及恒成立,其取值范围是方法二:当m=0时,②显然不成立:当时,②或或所以,存在实数m,使不等式,对任意及恒成立,其取值范围是b