2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数答案解析

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1、本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知（为虚数单位），则复数=（）A.B.C.D.试题分析：由题意得，，故选D.考点：复数的计算.2.设A,B是两个集合，则””是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点：集合的关系.3.执行如图1所示的程序框图，如果输入，则输出的()A.B.C.D.【答案】B.考点：1程序框图；2.裂项相消法

2、求数列的和.4.若变量满足约束条件，则的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当，时，的最小值是，故选A.考点：线性规划.5.设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数【答案】A.考点：函数的性质.6.已知的展开式中含的项的系数为30，则（）[来源:Zxxk.Com]A.B.C.6D-6【答案】D.【解析】试题分析：，令，可得，故选D.考点：二项式定理.

3、7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.4772【答案】C.考点：正态分布.8.已知点A,B,C在圆上运动，且.若点P的坐标为（2,0），则的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，AC为圆的直径，故可设，，，∴，而，∴的最大值为，故选B.考点：1.圆的性质；2.平面向量数量积.9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（）A.B.C

4、.D.【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A.B.C.D.【答案】A.[来源:学§科§网]考点：1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11..【答案】.考点：定积分的计算.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成

5、绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.【答案】.【解析】试题分析：由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为人.考点：1.系统抽样；2.茎叶图.13.设F是双曲线C：的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.【答案】.考点：双曲线的标准方程及其性质.14.设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则.【答案】.【解析】试题分析：∵，，成等差数列，∴，又∵等比

6、数列，∴.考点：等差数列与等比数列的性质.13.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是.【答案】.【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而；，综上，实数的取值范围是.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）；（2）【答案】（1）详见解析；（2）

7、详见解析.考点：1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.[来源:学+科+网Z+X+X+K]（Ⅱ）已知直线（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线与曲线C的交点为A，B，求的值.【答案】（1）；（2）.考点：1.极坐标与直角坐标的互相转化；2.直线与圆的位置关系.[来源:学.科.网Z.X.X.K]（Ⅲ）设，且.（1）；（2）与不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1

8、）将已知条件中的式子可等价变形为，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法，假设假设与同时成立，可求得，，从而与矛盾，即可得证试题解析：由，，，得，（1）由基本不等式及，有，即；（2）假设与同时成立，则由及得，同理，从而，这与矛盾，故与不可能成立.考点：1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.17.设的内角A