解三角形§112正弦定理和余弦定理余弦定理(一)机械基础

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1、1．1.2　余弦定理(一)对点讲练一、已知三角形两边及夹角解三角形例1　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.解　由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4，所以c＝－，由正弦定理得sinA＝＝，因为b>a，所以B>A，又∵0°

2、－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝.二、已知三角形三边解三角形例2　已知三角形ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．解　∵c>a，c>b，∴角C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，即37＝9＋16－24cosC，∴cosC＝－，∵0°

3、＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，即x＝7.所以，AC边上的中线长为7.三、利用余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．解　∵a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA，由正、余弦定理，即得a2b＝b2a，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a

4、2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，∴该三角形为等腰三角形或直角三角形．►变式训练3　在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．解　因为a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，所以可令a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)．c最大，cosC＝<0，所以C为钝角，从而三角形为钝角三角形．课堂小结：1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例

5、．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．课时作业一、选择题1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)A.　　　　　　　B.　　　　　　　C.　　　　　　　D.答案　B解析　∵a>b>c，∴C为最小角，由余弦定理cosC＝＝＝.∴C＝.2．在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于(　　)A．1B.C．2D．4答案　C解析　bcosC＋ccos

6、B＝b·＋c·＝＝a＝2.3．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，∴cosB＝＝＝.4．在△ABC中，sin2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对应边)，则△ABC的形状为(　　)A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案　B解析　∵sin2＝＝，∴cosA＝＝⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．5．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为(　　)A．135°B．45°C．60°D．120°答案　B解析　∵S＝(a2＋b2－

7、c2)＝absinC∴a2＋b2－c2＝2absinC，∴c2＝a2＋b2－2absinC.由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC，∴sinC＝cosC，∴C＝45°.二、填空题6．三角形三边长分别为a，b，(a>0，b>0)，则最大角为________．答案　120°解析　易知：>a，>b，设最大角为θ，则cosθ＝＝－，又θ∈(0°，180°)，∴θ＝120°.7．(2009·山东泰安一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．答案　解析　∵cosC＝＝，∴sinC＝.∴AD＝AC·sinC＝.