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1、本科毕业论文题目：关于函数一致性的讨论学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级5班姓名：董斐斐指导教师：李秀兰职称：教授完成日期：2011年5月18日关于函数一致性的讨论摘要:一致连续与一致收敛是数学分析中的重要概念,它们各自都有一些重要的定理及结论,本文首先通过对函数的一致连续及其相关定理的研究,还对函数列的一致收敛及二元函数一致收敛的概念的研究,导出了函数列与二元函数之间的统一关系,最后通过前文所述的一致连续与一致收敛的概念及其相关性质,得出函数列的一致连续与一致收敛的关系,函数列的一致性与连续性,以及函数列的连续性与一
2、致收敛性的相关定理.关键字:一致连续；一致收敛；一元函数；二元函数；函数列目录1一致连续及其相关问题11.1函数的连续与一致连续的概念11.2一元函数一致连续的性质11.3一元函数一致连续的推广（二元函数的一致连续）21.4函数列一致连续性的概念62一致收敛及相关问题62.1函数列一致收敛的概念62.2二元函数一致收敛的概念62.3一致收敛的函数列的性质72.4一致收敛的二元函数的性质82.5一致收敛性的统一93一致连续与一致收敛的相关性93.1一致连续和一致收敛的关系93.2函数列的一致性和连续性定理103.3函数列的连续与一致收敛11参
3、考文献12一致性是一个很重要的概念,在数学分析以及其他学科中常常用到,而且函数的一致连续性和一致收敛性又有着密切的关系.1一致连续及其相关问题1.1函数的连续与一致连续的概念定义1函数在区间上有定义,称函数在区间上连续是指,对,使得当且时,有定义2设函数在区间上定义,称函数在区间上一致连续是指,对使得对区间上的任意两点,且时有.注1比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的不仅与有关而且与有关,即对于不同的,一般说来是不同的,这表明只要函数在区间上的每一点都连续,函数就在这一区间上连续。而一致连续的仅与有关,与无关,即对于不同的
4、,是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性性,不仅要求函数在这一区间上的每一个点处连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.注2由连续与一致连续的概念,我们可知,在区间上一致连续性函数一定是连续的,反之则不成立.注3一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差可以任意小.若把区间换成数集,也可定义函数一致连续性,如下,定义设函数在数集上有定义,称函数在数集上一致连续是指,对使得当且时,有.1.2一元函数一致连续的性质定理1(康托定理)若函数在区间上连续,则它在这个区间上也一致连续.注4上述定理对开区间不成立,例
5、如在(0,1)的每一点都连续,但在该区间不一致连续.13定理2函数在区间上一致连续的充要条件是在区间上满足的任意数列必有.例如函数在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致连续.事实上,当0时,由基本初等函数在其定义的区间上连续知,是连续的.同时,由于,因而它也是有界的,现考虑(0,1)上的两个数列则当时,不论取得多么小,只要充分大,总可以使但所以在(0,1)上并非一致连续.定理3设函数在区间上连续,且存在,则函数在上一致连续.定理4设在有限区间上连续,则在上一致连续的充要条件是存在且有限.定理5函数在区间上有有界的导函数,则函
6、数在区间上一致连续.定理6函数在区间上一致连续的充要条件是,对及总存在正整数,使得当恒有.1.3一元函数一致连续的推广（二元函数的一致连续）定理函数在有界闭区域连续,则在上一致连续.证明用反证法.设在上连续而不一致连续,对任意小的总有相应的使得；又为有界闭区域,由致密性定理,存在收敛子列13设,再在中取出与下标相同的子列,因故又在连续,有这与矛盾,故在上一致连续.定理函数在区域上一致连续的充要条件是对恒有证明[充分性]用反证法.若不然,在上不一致连续,则对任意小的都相应的,使得,而这与题设矛盾.[必要性]在上一致连续,即对当且时,恒有任取则
7、对上述当时,恒有从而有.即定理函数在上连续且存在,则在上一致连续.证明存在,由柯西准则对满足的点13总有又在有界闭区域上连续,从而一致连续,故对上述当时恒有:取当时或同属于或同满足从而总有.故在上一致连续.注5该定理的逆命题未必成立.即在上一致连续,也未必存在.例如,在上一致连续,但不存在.定理函数在有界开区域上一致连续的充要条件是在上连续且存在.（这里,记为的边界,为的闭包.）证明[充分性]作辅助函数：则在有界闭域连续,从而在一致连续.而在内=,故在上一致连续.[必要性]在有界开区域上一致连续,即对,恒有于是对当时,有从而有,由柯西准则存
8、在.定理函数在凸区域内有有界偏导函数,则在一致连续.13证明设取对(1)若、之一属于,比如则(2)若、都不属于就将与的连线等分,记分点依次为(其中)并记因为为凸区域,故这些分点都
