第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试（竞赛）

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1、第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试1.某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生，平均每人可得15本，如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本，那么将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱?2.自然数的平方按大小排成14916253649……问:第612个位置的数字是几?3.有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂。问：可以得到多少种颜色不同的圆棒？4．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同，

2、而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发，问：当它们出发后第一次相遇各跑了多少路程？5．弹子盘为长方形ABCD，四角有洞，子弹从A出发，路线与边成45°角，撞到边界即反弹，如右图所示，AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞问：AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞？在落入洞之前，撞击BC边多少次？（假定弹子永远按上述规律运动，直到落入一个洞为止）。6．在1，2，3，…，1995这1995个数中找出

3、所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除。参考答案1.3元钱    2.是0    3.135种    4.狗跑了23437.5米；兔跑了16537.5米；猫跑了8437.5米    5.经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞    6.1254，210，1680，532，798，13301.【解】本数是15的倍数，也是10的倍数，因而是[15，10]＝30的倍数。将每30本作为一组，原来每组分给＝2名女生，或＝3名男生。现在应分给5(＝2＋3)名学生(其中女生2名，男生3名)，所以每人得：

4、30＋5＝6(本)，每人应付0.5×6＝3(元)2.【解】1一3的平方是一位数，占去3个位置；　4—9的平方是二位数，占去12个位置；　1O一31的平方是三位数，占去66个位置；　32—99的平方是四位数，占去272个位置；将1到99的平方排成一行，共占去3＋12＋66＋272＝353个位置，从612减去353，还有259个位置259＝51×5＋4。从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去259位置中的255个。151×151＝22801，从左到右的第4个位置上是0，这就是本题的

5、答案，即第612个位置上的数是0。3.【解】每段均有3种涂法，共有3×3×3×3×3＝243种涂法，其中颜色两头对称的（如黄红蓝红黄）的有3×3×3＝27种，而不对称的被重复计算了。所以可以得到（243－27）÷2＋27＝135（种）不同的圆棒。4.【解】设猫跑1步的路程为S，则狗跑1步的路程为S，兔跑1步的路程为S；设猫跑1步的时间为t，则狗跑1步的时间为t，兔跑1步的时间为t，所以猫的速度为，狗的速度为，兔的速度为，设猫的速度为1，则狗的速度为，兔的速度为，即猫、狗、兔的速度之比为9×25∶25

6、×25∶9×49＝225∶625∶441，即当猫跑225圈时，狗跑625圈，兔跑441圈，此时狗比兔多跑400圈，兔比猫多跑216圈，400与216的最大公约数为8，所以第一次相遇时狗比兔多跑50圈，兔比猫多跑27圈，此时猫跑了225×300÷8＝8437.5（米），狗跑了625×300÷8＝23437.5（米），兔跑了441×300÷8＝16537.5（米）。5.【解】设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为(1994－k)格，距离A点为(

7、k＋1)格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为(k＋1)格，距离D点为[1994－(K＋1)]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[1994－(k＋1)]格，距离C点为1995－[1994－(K＋1)]＝K＋2格再撞击BC边的位置距离C点为k＋2格，即比前一次的位置下移2格。第一次撞击BC边的位置离C点为1格以后每撞击BC边一次，距离增加2格，第n次撞击BC边的位置距离C点为(2n－1)格，当n＝997时，离C点有1993格，离B点只有1格经BC的反弹，撞击AB的位置离A点为1

8、994格，再反弹就落入D洞。答：经过撞击BC边997次后，弹子落入D洞。6.【解】是自然数，所以1995－=也是自然数,即1995十a是1995×1995的约数因为1995×1995＝32×52×72×192，它在1995与2×1995之间(不包括1995)的约数有　32×192＝3249,　7×192＝2527,　3×72×19＝2793,　52×7×19＝3325,　32×5×72＝2205,　3×52×72＝3675于是a的值有6个，即　3249－1995＝12