第讲指数对数型函数应用题恒成立问题

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1、第9讲指数对数型函数应用题指数函数与对数函数是两类基本函数,在各类考试的考试题型中以这两类函数作为数学模型考查应用题的题型并不少见,应当引起我们的重视.例1.有一个湖泊受污染,其湖水的容量为V立方米,每天流入湖的水量等于流出湖的水量.现假设下雨和蒸发平衡,且污染物和湖水均匀混合.用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析时，湖水的污染程度如何。例2．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展

2、下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.1.某企业2002年的产值为125万元，计划从2003年起平均每年比上一年增长20%，问哪一年这个企业的产值可达到216万元A、2004年B、2005年C、2006年D、2007年2.一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备价值为A、B、C、D、4．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．15=1．61)A．10%B．16．4%C

3、．16．8%D．20%3/3　　常见“恒成立问题”的解决办法一变量分离法变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、思路2、例1．（2008年上海）已知函数f(x)＝2x－若不等式2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围例2．（2010年全国）设，其中a为实数，n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a的取值范围．二构造函数法1、一次函数型函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于同理；若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有例3．对于满足

4、

5、a

6、2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立的x的取值范围.2、二次函数型若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解．例4．若函数的定义域为R，求实数的取值范围.3/3练习.已知函数，若时，恒成立，求的取值范围.三数形结合法例5.设，若不等式恒成立，求a的取值范围．四换元引参法例6.对于所有实数x，不等式恒成立，求a的取值范围．五　变更主元法例7.若对于，方程都有实根，求实根的范围．3/3