傅立叶级数和傅立叶变换

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1、傅立叶法国数学家及物理学家。最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方法。傅立叶级数（三角级数）创始人。　法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员

2、会主席。　　主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出着名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。　　1822年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。§3-2信号在正

3、交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们复习矢量的分解。一、矢量的分解（1）矢量的一维分解：用一个标准矢量乘以一个标量得到的新矢量，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，应该取多少？下图通过几何方法表示了的确定方法。l从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：其中的称为矢量和的相似系数。l如果（或），则表明和相垂直（又称为正交）。（2）矢量的二维分解用两个标准矢量、的线性组合，去近似近似矢量，并要求误差尽可能小，、各应该取多少？下图通过几何方法表示了、的确定方法。l在上图表示的情况下，、的取值都同时与、有关，计算公式可能比较复杂

4、。如果标准向量、相互垂直（正交），计算就很简单了：容易得到此时的系数计算公式为：，此时每一个系数只与其相关的标准矢量有关，系数计算公式与一维情况下的计算公式相似。l上图中表示的是用两个矢量表示一个二维的矢量，误差为零。如果用两个矢量表示一个二维以上的矢量，误差就不一定等于0了。但是可以证明，在这种系数情况下误差最小。l显然，如果知道了标准矢量、和相应的系数、，就可以确定任意矢量。l这实际上就是我们在平面几何中见到的笛卡尔坐标系。（3）矢量的多维分解：上面二维的情况可以推广到任意维，可以将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：显然，如果知道

5、了标准矢量和响应的系数，就可以确定任意矢量。如果矢量两两正交，可以证明相应的最佳系数的计算公式为：如果标准矢量基的长度都为1，则，上面的公式可以简化为：（4）标准矢量基的几个限制条件：为了便于计算系数，实际使用的标准正交矢量集最好满足以下几个条件：1)归一化：标准矢量的模等于12)正交化：标准矢量两两正交3)完备性：可以不失真地组合出任意矢量其中归一化和正交化是为了计算系数时比较方便；而完备性则是为了保证可以完整、没有误差地表示任意矢量，使这种分解更有实用性。二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。1、单个标准信号下的分解：在时

6、间区间内，用近似任意函数，并使误差进可能小。（这里假设所有函数都是实数函数）误差：l如何衡量函数误差的大小？——可以采用方均误差：l取什么值的时侯何时误差最小？或者何时系数最佳？最佳系数：——也称为函数和的相似系数。最佳系数的证明：误差：方均误差：为了求使最小的，将上式对求偏导并令其为零，可以得到：由此可得：l如果（或），则称和正交。——这个正交的含义与矢量中的正交类似。l如果和是复函数，则方均误差的定义应该改为：相应的最佳系数计算公式为：2、多个标准信号下的分解：将信号表示为多个标准信号的线性组合：l这里的同样难以确定。但是如果标准函数之间两

7、两正交，则可以证明：l我们实际上在高等数学等前期课程中已经见到过几个这样的标准信号集了。例如：泰勒级数使用的是：l在本章中将要用到的标准函数集为三角函数集：3、对标准信号集的要求：与矢量分解中的情况一样，这里对于用于分解函数的标准函数集也有以下的要求：1)归一化：2)正交化：，3)完备性：可以用其线性组合表示任意信号。l正交性标准函数集的首要条件。只有在这种情况下系数才可以用上美的公式计算，而且可以保证方均误差最小。其他两个条件都会受到实际应用的限制，可能难于达到。l完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函数集，沃尔什函数集等。l但在

8、实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，只能近似表示任意函数。函数与矢量的运算与分解有很大的相似性，很多函数分解中的概念（例如正交等）也是从矢