0atipe《数学分析》3第一章实数集与函数---§2数集和确界原理

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1、生活需要游戏，但不能游戏人生；生活需要歌舞，但不需醉生梦死；生活需要艺术，但不能投机取巧；生活需要勇气，但不能鲁莽蛮干；生活需要重复，但不能重蹈覆辙。——无名授课章节：第一章实数集与函数一-§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们

2、对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§1实数的相关内容。下面，我们先來检验一下自学的效果如何！1.证明：对任何xwR有（1）

3、x-l

4、+

5、x-2

6、ni；（2）

7、x-l

8、+

9、x-2

10、+

11、x-3

12、>2.2•证明：

13、

14、x

15、-

16、3^

17、

18、<

19、x-y

20、.3.设a,beR，证明：若对任何正数£有a--by，证明：存在有理数厂满足yv广vx.［引申I：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可

21、以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：1・先定义实数集R中的两类主要的数集一一区间邻域；2•讨论有界集与无界集；3.由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域1.区间（用来表示变量的变化范围）设a,be/?且a

22、aa}=[d,+x).{xg7?

23、xWd}=(-oo,d].[xeRx>a]=(d,+oo).[xeRx

24、-oo

25、

26、

27、

28、

29、x

30、>M

31、],(其中M为充分大的正数);^(+oo)={x

32、x>M},U(-oo)=[xx<-M]二有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）：设S为/?屮的一个数集。若存在数M（厶），使得i切xwS都有兀5M（x>L）,则称S为有上（下）界的数集。数M（厶）称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集。若数集S不是有界集，则称S为无界集。注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例:例1讨论数集N+={n为正整数}的有界性。分析：有界或无界〜上界、下界？下界显然有，如取厶=1；上界似乎无，但需要证明

33、。解：任取显然有/?0>1,所以N+有下界1；但N+无上界。证明如下：假设;V+有上界M,则M>0,按定义，对任意n0GN+,都有,这是不可能的，如取n0=[M]+l,则耳岸川+，且>M.综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集。例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集。[问题]:若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）。三确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数〃满足：（1）对一切xg5,有兀5〃（即〃是S的上界）;⑵对任何

34、GV〃，存在X0GS,使得兀>4（即〃是S的上界中最小的一个），则称数〃为数集S的上确界,记作〃=supS.定义3（下确界）设S是R中的