0Jrwok《数学分析》3第一章实数集与函数---§2数集和确界原理

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1、生命是永恒不断的创造，因为在它內部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔授课章节：第一章实数集与函数-一§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中匸确地加以运用。教学重点：确界的概念及其冇关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。教学方法：讲授为主。教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简

2、要讨论；此后又让大家口学了第一章§1实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！1.证明：对任何xeR有（1）丨兀一1丨+1兀一211；（2）lx-ll+lx-2l+lx-3l>2.2.证明：丨兀1一IyI<1x-yI.3.设a.beR,证明：若对任何正数F有a+b<£，则a

3、据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握木门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：1・先定义实数集R屮的两类主要的数集——区间邻域；2.讨论有界集与无界集；3.

4、1

5、有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域1•区间（用来表示变量的变化范围）有限区间开区间:[xeRaa]=[o,+o

6、o).{xe/?I<6/}=(-co,tz].[xeRx>a]=(tz,+oo).[xeRx

7、0vlx

8、-qlv5}=(°-+5)U“(a).(3)a的5右邻域和点a的空心5右邻域t/+(a;5)=[q,q+5)t/+(a)={xaSx

9、lxl>M},(其中M为充分大的正数);t/(+oo)={x

10、x>M},l/(-oo)={兀

11、兀V-M}二有界集与无界集什么是“界”？定义1（上、下界）：设S为7

12、?中的一个数集。若存在数M（L），使得一切xeSWx厶）,则称S为有上（下）界的数集。数M（D称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，乂有下界，贝IJ称S为有界集。若数集S不是冇界集，则称S为无界集。注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与S的关系如何？看下例:例1讨论数集N+={n为正整数}的有界性。分析：有界或无界J上界、下界？下界显然有，如取£=1；上界似乎无，但需要证明。解：任取n0gN+,显然有n（）>1,所以N+有下界1；但必无上界。证明如下：假设仏有上界M,则M〉0,按定义,对任意n0g7V+,都有,这是不可能的，如取%=

13、[M]+1,则％g,且n（）>M.综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集。例2证外（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）山有限个数组成的数集是有界集。[问题]:若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？（答：不唯一，有无穷多个）。三确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R屮的一个数集，若数〃满足：（1）对一切xwS,有xMq（即〃是S的上界）;⑵对任何a<耳,存在x0e5,使得x0>a（即〃是S的上界中最小的-一个），则称数77为数集S的上确界，记作〃=supS.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数&满足：（1）

14、对一切xwS,冇xh歹（即&是S的下界