2018全国ii卷高考压轴卷数学（理）试题

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2018全国卷II高考压轴卷理科数学本试卷共23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知U=｛y|y=log2x,x>l｝,P二｛y|y=丄,x>2),贝！J(uP二(A.[?+8)B.(。，PC.(。，+8)D.C,0)0(14-oo)2.“d>0”是“函数/(x)=F+d在区间(0,+oo)上是增函数”的A.必要而不充分条件C.充分必要条件B.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件3.己知函数f(x)=Sin7rX若仏肛互不相等，且f(a)=/0)=/(c),则log201()兀(兀>1)a+b+c的取值范围是()A.(1,2010)B.(1,2011)C.(2,2011)D.[2,2011]&斤7Sr4.设5是等差数列｛%｝的前n项和，若」二占则于二()a3$A.4-B•甞C.4D.539■1•■•2■5•在AABC屮，AN=-NC,P是直线BN上的一点，若AP二mAB+—AC,则实数m45的值为()A.-4B・-1C-1D.46.在四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA二AB、该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(俯视囹 6.秦九韶是我国南宋吋期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3,每次输入a的值均为4,输出s的值为484,则输入n的值为（/输入s/A.6B.5C.4D.37.已知圆C：x2+yM,点P为直线x+2y・9二0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB,A、B为切点，则直线AB经过定点（）A.（寻'y）B.（y,y）C.（2,0）D.（9,0）28.椭圆x?+笃二1（0/2+1)~2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.己知复数z满足4+3i，则复数刁在复平面内对应的点在.iz=l+2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限"x+y+4＞014.若直线y=3x上存在点（x,y）满足约束条件＜2x-y+8＞0，则实数m的取值范围〔X%ID是•15.已知AABC的内角A,B.C的对边分别为a,b,c,若cosB=—,/?=4,sinA=2sinC,4则ABC的面积为.2216已知双曲线二—莓=1（。＞0力＞0）上一点C,过双曲线中心的直线交双曲线于A、Ba~b~+In1+In比21最小时,双曲线离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（-）必考题：60分。17.（12分）设｛缶｝是公差不为零的等差数列，h为其前n项和，a两点，记直线AC、BC的斜率分别为&也，当2+a23=a28+a23,S?=7（I）求｛缶｝的通项公式（II）若l+21og2b,1=a^3（nWN*）,求数列｛anbn｝的前n项和T„. 17.(12分)从某校高三的学生中随机抽取了100名学生，统计了某次数学模考考试成绩如表:分组频数频率[100,110)50.050[110,120)⑪0.200[120,130)35②[130,140)300.300[140,150]100.100(1)请在频率分布表中的①、②位置上填上相应的数据，并在给定的坐标系中作岀这些数据的频率分布直方图，再根据频率分布直方图佔计这100名学生的平均成绩;(2)从这100名学生屮，采用分层抽样的方法已抽収了20名同学参加“希望杯数学竞赛”，现需要选取其中3名同学代表高三年级到外校交流，记这3名学生中“期中考试成绩低于120分”的人数为求E的分布列和数学期望.Is一二一_•r卜4--IL—「-Hzdlo10mlO1318.(12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD丄平mABCD,SD二2a,AD=同点E是SD上的点，且％=加(0＜兀2)(I)求证：对任意的2丘(°，2],都有AC丄BE(II)设二面角C-AE-D的大小为&,直线BE与平面ABCD所成的角为°,若 tan0gtan0=1,求2的值AB17.(12分)3x2v2已知点P(・1,—)是椭圆E：—七=1(a>b>0)上一点，EhF2分别是椭圆E的左、右焦点，0是坐标原点，PFi丄x轴.(1)求椭圆E的方程；(2)设A,B是椭圆E上两个动点，满足：PA+PB=XP0(0l,解得y>0,所以全集U二（0,+8）,同样：P=（0,丄），得到GP二［丄，+°°）.故选A.122.【答案】B3.【答案】C【解析】因为a,b,c互不相等,不妨设qv方vc,则0n,执行循环体，Q二4,s二16,k=2不满足条件k>n,执行循环体，8二4,s二52,k二3不满足条件k>n,执行循环体，a=4,s=160,k=4不满足条件k>n,执行循环体，a=4,s二484,k=5由题意，此时应该满足条件k>n,退出循坏，输出s的值为484,可得：5>n^4,所以输入n的值为4.故选：C.&【答案】A【解析】：因为P是直线x+2y-9=0的任一点，所以设P（9-2m,m）,因为圆x2+y2=4的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,所以OA丄PA,OB1PB,则点A、B在以OP为直径的圆上,即AB是圆0和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是（土|巴，号），且半径的平方是2222宀（9-2：）+ID,所以圆C的方程是（x-土尹）2+（y-号）2二（9-響+m,①又x2+y2=4,②，②■①得，（2m-9）x・my+4=0,即公共弦AB所在的直线方程是：（加・9）x-my+4=0,即m（2x-y）+（-9x+4）=0,由2x_y"°得x=lfy二g,所以直线AB恒过1-如+4二099定点（春与）'故选A.9.【答案】A【解析】方法一：如图所示，B是右顶点（1,0）,上顶点A（0,b）,左焦点F（寸1-/‘0）'线段FB的垂直平分线为：线段AB的中点（1•VkAB=-b.A线段AB的垂直平分线的斜率k二寺.・・・线段AB的垂直平分线方程为：y-~bzb（x-g）,把X二上心二二m,代入上述方程可得：由P（m,n）在直m,n.2b 线y-的左下方，则E。，•••上牛&宅严i>0.化为：b<丘,又。0由二次方程x2+2sx+t=0有两正根可得《-2s>0,其区域如图所示t>0[s2>t即s<0其区域如图所示,面积S打帚注t>0 所求概率P二卫=丄故选B4129.【答案】A10.【答案】C11.【答案】第三彖限【解析】：・・・._4+3i1Z=l+2i-4+3i_4+3i_(4+3i)(-2-i)_-5-10iz—(l+2i)i二-2+i=(-2+i)(-2-i)二~~~・・・复数z在复平面内对应的点的坐标为（・1,・2）,在第三象限.14.【答案】（・1,+Q【解析】由题意作出其平面区域,结合图象可得,fy=3x|y=-x~4解得，A(-1,-3)；故m>1.15.【答案】V1516.【答案】V3【解析】设A(xi,yi),C(X2,y2), 由题意知点A,B为过原点的直线与双曲线竺-辽二1的交点,a2b2•••由双曲线的对称性得A,B关于原点对称,,2_2y?~yiy?+yiy?卩1AB(-xi,-yi),/.kik2=•:——=,2"X12222XiYix9y9・・•点A,C都在双曲线上，・••气-二=1,吕-吕二1,/b2/b2X2~X1x2+xlX两式相减'可得：kk一.X),对丁•丘：+ln|k]|+lnIk?I二kik2|,函数y=—+lnx(x>0),rfly'二■二+丄二0,得x=0(舍)或x=2,xx2xx>2时，y‘>0,00)取得最小值,oi.2•:当+ln(kik2)最小时，kk二一=2klk2a2•故答案为：V3-(a4-a2)(a4+a2)/•anbn二(2n-7)i-1,17.【答案】(I)设等差数列｛an｝的公差为dHO,Va22+a23=a28+a23,A二(a3+a5)(a3-aS),化为2d2a3=-2d2a4,dHO,Aa3=-a4.7(8[+巧)•・・S7二7,・・・S7二2二7a4二7,解得a4=l,Aa3=-1,d二2.an=a4+(n-4)2二2n-7.b-?n_1(II)Vl+21og2bn=an+3(neN*),Al+21og2bn=2n・1,ADn乙2n・1,・•・数列｛anbn｝的前n项和Tn二-51-32・122+123+・・・+(2n・7)2Tn二・52・322-123+124+・・・+(2n・7)2n,A-Tn=-5+2(2+22+・・・+2n-1)-(2n-7)2n2X2(2RT-1)=-5+2-1-(2n-7)2n=-5+2n+l-4-(2n-7)2n,「•Tn二(2n-9)2n+9. 【解析】(「)设等差数列｛缶｝的公差为dHO,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；(II)l+21og2bn=an^3(n^N*),可得l+21og2bn=2n-1,-2n~anbn=(2n-7)2:'1,再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出.17.【答案】(1)100-(5+35+30+10)=20,1-0.05-0.2-0.3-0.1=0.35.频率分布表为:分组频数频率[100,110)50.05[110,120)200.2[120,130)350.35[130,140)300.3[140,150]100.1频率分布直方图为:0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.0050100110120130140150平均成绩为1050.05+1150.2+1250.35+1350.3+1450.1=127分.(2)成绩低于120分的人数为20(0.05+0.2)=5人，不低于120分的人数为15人,・•・E的所有可能取值为0,1,2,3,r3r1r2E,…c、°1591。…八35且P(C=0)二歹二莎，P(加1)二二百^20^20 厂12厂11厂3P(g=2)二「寻P(Z3)二今二応.C338c3114^20^20・•・E的分布列为: p9135512287638114•••Eg二【解析】（1）根据频数之和为100,频率之和为1计算①②，作出频率分布直方图，利用组中值代替每小组的平均数计算平均数;（2）根据分层原理计算选出的20名学生中成绩低于120分的人数，利用超几何分布计算概率得出分布列，再汁算数学期望.17.【答案】（I）证法1：如图1,连接BE、BD,由地ffijABCD是正方形可得AC丄BD。ZDBE二°,TSD丄平面ABCD,・°・BD是BE在平ABCD±的射影，二AC丄BE（II）解法1：如图1,由SD丄平面ABCD知TSD丄平面ABCD,CDU平面ABCD,・・・SD丄CD。又底面ABCD是正方形，・•・CD±AD，而SDCAD=D,CD丄平面SAD.连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE丄AE于F,连接CF,则CF丄AE,故ZCDF是二面角C-AE-D的平面角，即ZCDF二DEAtan(p==—在RtABDE中，•••BD=2a,DE=^aBD2在RtZADE中***AD=j2a、DE=AE=a.y］九~+2df=^DE=^^Vdn0=CD=4^2从而AE血2+2,在RtACDF中，DFaJ/+2.2=1o+2=2o，=2由tan&tan^=l?得Q2 由2w（0,2],解得九二近,即为所求.证法2：以D为原点，D4,£>C,£>S的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0,0,0）,A（^2,o,o）,B（血。，屈，0）,C（°,迈a,°）,e（0,；・AC=（-迈ci,迈ci,O）,BE=（-近a,-近a,入ci）:.AC-BE=2a1—la1+0-^=0,即AC丄BE。解法2：由（T）得疋4=（近-入a）,EC=（0,近（1,一入a）,BE=（-近a,-近a,九a）设平面ACE的法向量为n二（x,y,z）,则由刃丄必n丄EC得F•鬥=o,即[密-2z=0,取z皿得財入逅）[n•EC=0，[>/2y-2z=0,o易知平面ABCD与平而ADE的-个法向量分别为DS=（0，°，2d）与DC=（0,屈,0）..DSBE•••sin(p=ds[be换je」心+4二园丁2才+2(p<—.A>02ji:.tan6・tan°<=>&+°=—osin0=cos&4^_AJ/+4丁2才+2由于2w（0,2],解得2=0,即为所求。20.【答案】(I)VPFi丄x轴,・・・Fi(-1,0),c二1,F2(1,0),.2a=|PF1|+|PF2|=4,22・・・椭圆E的方程为：计+才“.(2)证明：设A(xi,yi)、B(X2,y2), 由莎■起二入瓦(00,当tw(・1,2)时，f‘(t)<0,f(t)二・1时取得最大值马,49所以S的最大值为#.此时x】+x2=-t=l二X-2,入=3.【解析】(I)由PF】丄x轴,求出2a=|PFi|+|PF2|=4,由此能求出椭圆E的方程.(2)设八(xi,yi)、B(X2，丫2),由F^+"pB=~PQ(0hx)<0在区间(£1)上恒成立十—做―250oaX吉一丰，Txw(*,1),-y—辛=(十―1)~—1w(―1,3),・1・1只要a>3(III)fx)=7,gXx)=or+2假设有可能平行，则存在d使H宁宁卜斗斗3+石+22J2yXy~~2o2(“入2)二£(西2_花2)+2(西一£)=(*处；+2再)_(寺ax^+2花)二)［一旳兀］+兀22=InXj-Inx2=In—,不妨设x（>x2>0,—=r>1〜x2x2则方程乞二D=hu存在大于1的实根，设=乞二U—ln/t+1z+1则0⑴二《o’・・・°a）v0（i）=o,这与存在t>i使°（/）=o矛盾.（xzzx/3+3cos022•【答案】（I）曲线G的参数方程为3水（©为参数），利用平方关系消去[y=-l+3sin0©可得：（x^/3）+（y+1）'=9,展开为：x'+y‘-2J^x+2y・5二0,可得极坐标方程：P°-2屈PcosB+2psin0-5=0.曲线C2的极坐标方程为P=2cos0,即p2=2Pcos0,可得直角坐标方程：x2+y2=2x.（II）把直线（）二晋（PWR）代入p2-2V3pcos0+2psin°-5=0,整理可得：P2-2P-5=0,P1+P2=2,P］•P2=・5, ・•・|PQ|=IPi-P2I二J(p]+Q2)2一4P1P2=V22-4X(-5)=2V6•【解析】(1)曲线C］的参数方程为xn/5+3cose/=-l+3sin0（“为参数），利用平方关系消去4）可得普通方程，展开利用互化公式可得极坐标方程.曲线C2的极坐标方程为p=2cose,即P2=2Pcos0,利用互化公式可得直角坐标方程.(II)把直线0~(PWR)代入p2-2V3PcosO+2PsinO-5=0,整理可得：p2-2p-5=0,利用|PQ|=|P!-P2|=^(pt+p2)2-4PjP2即可得出.23.【答案】由不等式|2x・1|<1化为・l<2x・1V1解得OVxVl,・・・原不等式的解集M={x|00,ab+l>a+b.(II)*.*a,b^M,.