[应用]数列、数学归纳法及数列极限的复习

《[应用]数列、数学归纳法及数列极限的复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、数列、数学归纳法及数列极限的复习一、基本概念1数列：按一•定次序排列的一列数•按项数是否有穷可分为有穷数列和无穷数列•按相邻两项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列.数列可以看成一类特殊的函数，其定义域为正桀数集或其了集.数列｛色｝的第〃项色与n的关系式①=f（n）叫做数列｛%｝的通项公式.注意：不是每个数列都有通项公式！根据数列的前几项不能确定这个数列，但是可以写出它的一个或几个通项公式！冇些数列冇单调性、周期性、最值.2数列的递推公式：给出数列｛〜｝的初始项（第一项或前儿项），再给出相邻两项或儿项的关系，这样的关系式称为数列｛色

2、｝的递推公式.如：=aQ，严，$严1卫2=1等W〃+]=d”+d[an+｝=qan[an+2=an+l+a”3等差数列若afl+1-=d（d为常数），则数列｛色｝是等差数列.公差为d的等差数列｛色｝的通项公式为化=⑷+5-l）d•（该公式口J整理为atl=dn+（a】-d））设血｝是等差数列，若p+q=s+1=2k（p,q、s、t、k都是正整数），则仏+an=cip+o厂2a*.注意：am+an=altl+n一般不成立！设仏｝是等差数列，则仏｝的前n项和Sn的公式为S“="⑷+/）=na｛+"（Z）d・22（该公式可整理为S”=2/?+（%—0加）.

3、若等差数列仏｝的公差d>0,则仏｝是递增数列.若d=0,则仏｝是常数数列.若dvO,则仏｝是递减数列.若成等差数列，则A=凹.任意两个实数都有唯一的等差中项.2判断&”｝是等差数列的方法：（1）利用定义-色=d（〃为常数）.⑵根据a*-%+i=碍+i一％・⑶根据ctn=pn+q.（4）根据Sn=an2+bn.注意：证明数列&”｝是等差数列时通常用定义！4等比数列若沁=g（q为常数），则数列血｝是等比数列.公比为q的等比数列｛an｝的通项公式为j=atnqn~,n.设｛色｝是等比数列，若p+q=s+t=2k（p,q,s,t,k都是正整数），则=apaq

4、=ci；.加i（g=l）设仏｝是等比数列，则仏｝的前兄项和S”的公式为=a]-aq⑷（1—/）•—.~~—=（9工1）1-q1-q等比数列仏｝的公比gzO.若a,G,b成等比数列，则G二土懈.两个实数不一定有等比中项，若有等比中项，则有两个！判断仏｝是等比数列的方法：⑴利用定义^=q（q为常数）.⑵根据也也=也・an心+]an⑶根据仇=bqn•（4）根据S”=bqn-b•注意：证明数列仏｝是等比数列时通常用定义！5数学归纳法对于关于正整数兀的很多命题可以用数学归纳法解决.它是用有限的步骤完成无限的递推！第一步，证明n=n0时命题成立（这是递推的基础

5、）.第二步，假设〃=k｛keN,k>®）命题成立.由此证明n=k+l时命题也成立（这是递推的依据）.根据这两步，就可以无限递推下去,因而对于任意的正整数n>n（v命题都成立.数学归纳法的第二步必须用假设的结论!6数列的极限儿个基本数列的极限：①lim丄=0（加wM）.②当卜<1时，limxn=0.③limC=C（C为常数）.7?—>00m7?->OO"T8运算法则：若hman=A.hmhn=B,则n—>ocxo(1)hm(an±bn)=lima”±limbn=A±B.n—>00"T8nT8(2)lim(d〃・/)=lim%•lim乞=AB.川一>0

6、0"—>00"Tooaliman4(3)==-(4)lim(C-^)=C-lim^=CA(C为常数)./?—>oc优lim优Bn->con—数列极限的四则运算法则只适用于冇限项•如果是无限项，应该先化简.d]l—q设数列｛%｝为等比数列，首项为％,公比为g，｛%｝的前斤项和为S”.如杲0<

7、g

8、00公比为q的无穷等比数列仏｝的各项和存在的充要条件是0V同V1・二、常用结论1若数列仏｝、｛仇｝是等差数列,则｛“”｝、仏+%」、｛pan+qbn｝也是等差数列.

9、｛c5｝&〉（）,cH1）是等比数列.2若等差数列&”｝的前"项和为S”.则5,,S次-Sk,-S次也成等差数列.3设等差数列｛〜｝的首项为①，公差为d,其前项和为S”.若d〉0,则S”有最小值.若d<0,则S”有最大值.4数列仏｝是等比数列，则｛““｝、｛d/kwNj、｛anan+｝｝也是等比数列.若数列血｝是等比数列，且a„>0,则｛logc^｝（c>0,c^l）是等差数列.5若等比数列仏｝的前〃项和为S”.则5,,S2.-5,,S3,-S2A,也成等比数列.6若等差数列｛%｝的前n项和为S”.则｛警［成等差数列.若等比数列｛an｝的前斤项的乘积

10、为Tn.则莎｝成等比数列.0（m