计算n阶行列式的若干方法举例 毕业论文

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1、计算n阶行列式的若干方法举例摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。关键字:行列式；n阶行列式；计算；方法前言：行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言

2、，我们可以发现它的二个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。上面这

3、些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨论。一、利用行列式的定义计算定义:n阶行列式定义为n！项的代数和，这些项是一切可能的取自D的不同行与不同列的n个元素的积，且此项的符号是，即例1计算行列式12解Dn中不为零的项用一般形式表示为.该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于，故计算下列行列式.解.例2设都是整数,是一个正整数，证明证明若=0，则=0，即=0显然，在行列式D中，项为奇数，其余项全为偶数，因此，由行列式的定义，D=奇数+偶数=0，矛盾.所以，.12计算解因为

4、=.所以D=又因为在所有的n！个排列中，奇偶排列各半，故D=0.二、利用行列式性质计算行列式函数满足以下六条性质：1、；2、，类似地，对行向量，有3、若A的某列（行）为两列（行）之和，则为两个相应的行列式之和；4、A不满秩，则，特别地，A有两行（列）相等，则；5、将A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不变；6、两行（列）互换，行列式反号.例4计算行列式，.12解=2=0.例5证明证明三、化成三角形行列式法先把行列式的某一行（列）全部化为1，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点：1各行元素之和相等；2各

5、列元素除一个以外也相等.充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的.例6计算.解=12====.补充：经过一系列的变化以后，把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。计算n阶行列式解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得12四、加边法（升阶法）要求：1.保持原行列式的值不变；2.新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列.加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第i列（行）的元素分别为n-1个

6、元素的倍数的情况.例7计算解注意到行列式每列元素几乎相同，只不过是在相应的对角线加了另一个元素，所以考虑采用加边法.==.五、分项法—拆成行列式之和（积）把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的.例8计算解观察此行列式其特点为主对角线上全为0，主对角线两旁元素只是x、y，且每一侧元素相同，采用分项法.12=（1）同理（2）若时，由（1）和（2）易得若时，==.六、递推法建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值.有时也可以找到与的递推关系，最后利用、得到的值.例9计算三对角行列式解=.按第一列展开得.于是（3）同理12（4）若，由（3）和（4）易得.若，由（3）知，递

7、推可知.引申：逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn,Dn－1,Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之.例10证明证明：将Dn按第1列展开得由此得递推公式：，利用此递推公式可得12例11计算.解.猜想：.假设对阶数小于n的自然数m，.对n阶按最后一行展开得.因为,所以.又如：计算n阶行列式解：用数学归纳法.当n=2时假设n=k时，有则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得12由此，对